关于群论证明费马小定理？

 

这篇博客就是讲证费马的，没什么意思。

 

既然是要用群论证明费马小定理，那么我们先用数论证明一下。

(以下的 p 为一个质数)

 

首先我们考虑 一个前置定理：

 

第一个证明

 

若 $(c,p) =1$ (即 c 与 p 的 gcd 为 1)，且 $ac ≡ bc (mod\ p)$ ， 那么由 $a ≡ b (mod\ p)$

 

证：

∵$ac≡ bc ( mod\ p )$ 

∴$(a-b)c≡0 (mod\ p)$

∴(a-b)c 是 p 的整数倍

又∵$(c,p)=1$

∴$a-b≡0 (mod\ p)$，即 $a≡b (mod\ p)$

得证！

 

 

第二个证明

然后我们进入正题，假设有正整数 a (a<p) 满足条件 $(a,p)=1$ ，那么我们将 a 乘上 1~p-1 后可以构成一个 %p 的完全剩余系

 

证：

假设存在 $xa≡ya(mod\ p)$，且 $x≠y$

 

∵ a 与 p 互质

 

∴原式成立当且仅当 $x≡y(mod\ p)$ 

 

又∵x,y∈[1,p-1] 

 

∴ $x≡y(mod\ p)$ 当且仅当 $x=y$，与已知条件矛盾

 

∴得证假设不成立，原命题成立

 

第三个证明

 

接下来证明 $a^{p-1}≡1 (mod\ p)$

 

证：

又∵$1,....,p-1$ 是 %p 的完全剩余系

 

∴有 $1*2*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*...*(p-1)a (mod\ p)$，即$(p-1)!≡p-1!*a^{p-1} (mod\ p)$

 

又 ∵ p 是质数，所以 $((p-1)!,p)=1$，即 (p-1)! 与 p 互质

 

∴ $a^{p-1}≡1(mod\ p)$

 

得证！

 

---

 

 

然后我们就进入第二个阶段，用群论证明费马小定理吧。

 

首先如果你会证拉格朗日定理那么这里就没什么难度了。

 

那么我们先假设拉格朗日定理成立，后面再来证明它。

 

哦对了，拉格朗日定理是什么都还没讲呢：

 

Lagrange定理 

　　设 H<=G ，如果|G|=N, |H|=n, 且有 [G:H]=j ，那么 N=nj 。

其中 [G:H]=j 表示子群 H 在 G 中的左（右）陪集个数（当然有可能 j 是无穷大）。 所谓左（右）陪集的个数的含义就是左（右）陪集中本质不同的集合（注意这里讲的是集合）个数。

 

那么我们可以得到一个推论就是： 对于 G 中的任意元素 a ， a 的阶为 |G|  的因子。

那么 a 的阶就是以 a 为生成元构成的群的大小，<a> 就是 a 构成的一个循环群。

 

 

那么这里我们就可以证明出费马小定理了。

 

也就是说我们令 G 为 1~p-1 构成的 %p 意义下的乘法群（p 仍然是质数），

然后 G 中的任意元素 a 必然满足 $a^{p-1} %p = 1$ 

证：

设 a 构成的循环群大小为 d，则 $a^d ≡ 1 (mod\ p)$

 

又∵根据 Lagrange定理 可得 d|(p-1)

 

令 j =(p-1)/d 

 

∵ $a^{d*j}  ≡ 1(mod\ p)$  

 

∴ $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p)$

得证！

 

 

然鹅 Lagrange定理 真的懒得证了，所以这里就贴个网址你自己去看吧！

 

提醒一下，里面要用到陪集的性质，也就是两个左(右)陪集满足：

 

1. aH=bH

2. aH∩bH=∅

 

顺便提一下，这样可以连着蒙哥马利快速模的正确性一起证掉（当然这里 p 还是质数）

 

因为如果 $a^{p-1}  ≡ 1(mod\ p) $，那么也就是 $a*a^{p-2} ≡ 1(mod\ p)$

 

根据逆元定义， $a^{p-2}%p$ 就是 a 在模 p 意义下的逆元咯~

 

然后水过了一篇证明（这能说是伪证么2333）