杂题20200509

CF516D Drazil and Morning Exercise

给定一棵 \(n\) 个点的带边权树，定义 \(f_u=\max_{i=1}^n\operatorname{dist(u,\ i)}\)

\(q\) 次询问，每次给定 \(l\) ，求满足 \(\max_{u\in S}f_u-\min_{u\in S}f_u\leq l\) 的连通块 \(S\) 包含的点数的最大值

\(n\leq10^5,\ q\leq50\)

让 \(f_u\) 取得最值的 \(i\) 一定是直径的两端之一，暴力求即可（也可以换根dp

容易想到对于每个询问，枚举每个 \(u\) 作为连通块 \(S\) 中的 \(\min\) 或 \(\max\) ，将 \(f_u\) 排序后即为考虑连续的一段点构成的连通块

考虑枚举 \(\min\) ，用并查集维护集合连通情况，降序排序，双指针扫的时候会删掉 \(f_v-f_u>l\) 的点 \(v\) ，此时 \(v\) 一定是叶子，将 \(v\) 所在的连通块答案 \(-1\) 即可

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bzoj3569 DZY Loves Chinese II

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图， \(q\) 次询问，每次给出一个边集 \(S\) ，问删掉边集中的所有边后图是否联通，询问独立，强制在线

• \(n\leq10^5,\ m\leq5\times10^5\)
• \(q\leq5\times10^4;\ |S|\leq15\)

找到原图中的任意一棵生成树，图不连通当且仅当，存在一条树边，使得它被删了，并且连接生成树分成的两部分的边也都被删了

对于一条非树边 \((u,\ v)\) ，给它赋一个随机值 \(x\) ，并将生成树上路径 \((u,\ v)\) 上的所有树边的权值异或上 \(x\) 。容易发现，删掉边集 \(S\) 后图不连通，当且仅当 \(\exist\ T\subseteq S,\ \displaystyle\oplus_{x\in T}x=0\)

然后线性基搞搞，时间复杂度大概是 \(O(\log w\times\displaystyle\sum |S|)\) ，其中 \(w\) 是随机值域范围

貌似是一种常见套路。。

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CF1344D Résumé Review

给定一个长为 \(n\) 的整数数组 \(a_i\) 和常数 \(k\) ，求出长为 \(n\) 的整数数组 \(b_i\) 满足：

• \(0\leq b_i\leq10^9\)
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i=k\)
• 最大化 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i(a_i-b_i^2)\)

\(n\leq10^5;\ a_i\in[0,\ 10^9]\)

令 \(f_i(x)=x(a_i-x^2)\) ，容易发现该函数是凸的

考虑二分凸函数斜率，每次二分 check 中再对每个点二分出斜率对应的 \(b_i\) ，二分完成后不一定满足条件 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i=k\) ，随便搞搞即可

外层是个 wqs二分，时间复杂度 \(O(n\log^2v)\)

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杂题

给定一张 \(n\) 个点的无向图，统计本质不同的团的数量

\(n\leq50\)

时限 10s

考虑折半，对于左侧预处理出 \(f_S=[\) 点集 \(S\) 是一个团 \(]\) ，右侧同理处理出 \(g_S\)

可以再处理出 \(A_S\) 表示有多少个左侧点集与右侧点集 \(S\) 形成了一个团，这个可以高维前缀和处理出来，答案即为 \(\displaystyle\sum A_Sg_S\)

时间复杂度 \(O(n2^{\frac n2})\)

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杂题

有 \(n\) 个元素 \(a_i\) ，你每轮可以选择两个数 \(i,\ j\ (i>j)\) ，给答案增加 \(a_i-a_j\) ，并删掉 \(a_i,\ a_j\) ，当然，这一轮也可以不操作

求出如果进行 \(1\sim\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 轮操作，答案最大是多少

\(n\leq10^5\)

可以费用流，源点 \(S\) 向每个点 \(i\) 连容量为 \(1\) ，费用为 \(a_i\) 的边，每个点 \(i\) 向汇点 \(T\) 连容量为 \(1\) ，费用为 \(-a_i\) 的边，每个点 \(i\) 向点 \(i-1\) 连容量为 \(+\inf\) ，费用为 \(0\) 的边，跑最大费用最大流

显然每流一轮，路径形如 \(S\to i,\ i\to j,\ j\to T\) ，如果 \(i>j\) ，含义显然时在这一轮选择了 \(i,\ j\) 这两个数；如果 \(i<j\) ，则 \(i\to j\) 之间的边容量必定 \(>0\) ，这个操作相当于打乱了原来的一轮操作，例如之前有一轮操作 \(S\to u,\ u\to v,\ v\to T\) ，其中 \(u>j,\ v<i\) ，这轮操作相当于将操作 \((u,\ v)\) 取消，新增匹配 \((u,\ j)\) 和 \((i,\ v)\)

这样每流一轮就相当于进行了一轮操作。若某一轮流流出的费用 \(<0\) ，则答案不会增加， break 即可

可以暴力模拟费用流以做到 \(O(n^2)\) ，每轮操作，要么找到一对没用过的 \(i,\ j\ (i>j)\) 使得 \(a_i-a_j\) 最大，要么找到一对 \(i,\ j\ (i<j)\) 使得路径 \(i\to j\) 之间所有流量 \(>0\) ，且 \(a_i-a_j\) 最大

可以用一些奇妙做法做到 \(O(n\log n)\)

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杂题

给定一棵 \(n\) 个点的树，第 \(i\) 个点点权为 \(w_i\) ，你需要给树添加一条不存在的边，最大化 \(\displaystyle\sum_{i=1}w_i\times dep_i\) ，其中 \(dep_i\) 是节点 \(i\) 到环的最短距离，特别的，环上的点深度为 \(0\)

• \(n\leq10^6\)
• \(|w_i|\in[-10^3,10^3]\)

任选一个点为根，考虑统计点 \(u\) 作为所连边 \((x,\ y)\) 的 \(lca\) 时的答案

记 \(f_u\) 为从 \(u\) 的子树中选一个点 \(v\) ，将 \(u,\ v\) 链上的点作为环点时， \(u\) 子树内的答案

这个很容易转移，可能要判一下环长必须大于 \(2\)

子树外的答案就维护 \(w_i\times dis(i,\ u)\) ，可以 换根dp 一下

现在可以由 \(f_u\) 直接统计所有父子链答案

对于 \(u=\operatorname{lca}(x,\ y)\) 的答案，能够直接考虑 \(v\in son(u),\ f_v\) 的最值

就做完了。。

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杂题

你需要维护一个字符串序列 \(\{S_n\}\) ，其中有 \(n\) 个字符串，初始全为空。接下来有 \(q\) 次操作，支持两种操作，下面设当前为第 \(i\) 次操作，且本题中字符集为 \([1,\ q]\cap \N_+\)

• 1 l r，表示在所有编号在 \([l,\ r]\) 内的字符串末尾添加字符 \(i\) ，这里 \(i\) 是一个 \([1,q]\) 范围内的整数
• 2 l r，表示询问所有编号在 \([l,r]\) 内的字符串的最长公共子序列长度

\(n,\ q\leq10^5\)

容易发现区间 \([l,\ r]\) 的 LCS 长度是完全包含区间 \([l,\ r]\) 的操作个数，三维偏序即可

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杂题

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带正边权无向图，对每个点求出包含它的所有出边时，最小生成树的权值

\(n\leq10^5;\ m\leq3\times10^5\)

LCT 被卡常了

有一个高论做法，之后填坑（咕了）