杂题20200419

CF708E Student's Camp

有一个高 \(n+2\) ，宽 \(m\) 的矩形，每个位置有一个砖块。每天白天，除了最上最下两行，其余的每行最左侧元素有 \(p=\frac{a}{b}\) 的概率消失；每天晚上，其余的每行最右侧元素也有 \(p=\frac{a}{b}\) 的概率消失

问经过 \(k\) 天后（ \(k\) 个白天、 \(k\) 个晚上），这个矩形没有被分割为两个及以上的四连通块的概率 \(\bmod 10^9+7\)

\(n,\ m\leq1500;\ k\leq10^5\)

记 \(f_{i,\ l,\ r}\) 为，第 \(i\) 行没有消失的部分为区间 \([l,\ r]\) ，前 \(i\) 行没有被分割为两个及以上的四连通块的概率

转移： \(f_{i,\ l,\ r}=p_{l,\ r}\displaystyle\sum_{[l,\ r]\cap[x,\ y]\neq \varnothing} f_{i-1,\ x,\ y}\) ，其中 \(p_{l,\ r}\) 为经过了 \(k\) 天，第 \(i\) 行仅剩下区间 \([l,\ r]\) 的概率

初值 \(f_{0,\ 1,\ m}=1\) ，答案即为 \(\displaystyle\sum_{1\leq l\leq r\leq m}f_{n,\ l,\ r}\)

容易发现对于一行，左侧的消失情况与右侧的消失情况是独立的，因此定义 \(p_i\) 为经过 \(k\) 天，消失了 \(i\) 个砖块的概率，则 \(p_{l,\ r}=p_{l-1}\times p_{m-r}\)

限制条件 \([l,\ r]\cap[x,\ y]=\varnothing\) 即为 \(y\ge l,\ x\leq r\) ，则 \(\begin{aligned}f_{i,\ l,\ r}&=p_{l-1}\times p_{m-r}\times\displaystyle\sum_{y=l}^n\sum_{x=1}^{\min(r,\ y)}f_{i-1,\ x,\ y}\\&=p_{l-1}\times p_{m-r}\times\displaystyle((\sum_{y=l}^r\sum_{x=1}^yf_{i-1,\ x,\ y})+(\sum_{y=r+1}^n\sum_{x=1}^rf_{i-1,\ x,\ y}))\end{aligned}\)

记 \(A_{i-1,\ r}=\displaystyle\sum_{y=1}^r\sum_{x=1}^yf_{i-1,\ x,\ y},\ B_{i-1,\ r}=\sum_{y=r+1}^n\sum_{x=1}^rf_{i-1,\ x,\ y}\) ，则 \(f_{i,\ l,\ r}=p_{l-1}\times p_{m-r}\times(A_{i-1,\ r}-A_{i-1,\ l-1}+B_{i-1,\ r})\)

因此 \(A_{i,\ j}=\displaystyle\sum_{y=1}^j\sum_{x=1}^yp_{l-1}\times p_{m-r}\times(A_{i-1,\ r}-A_{i-1,\ l-1}+B_{i-1,\ r}),\\B_{i,\ j}=\displaystyle\sum_{y=j+1}^n\sum_{x=1}^jp_{l-1}\times p_{m-r}\times(A_{i-1,\ r}-A_{i-1,\ l-1}+B_{i-1,\ r})\)

把括号拆开，大力前缀和一下，用 \(A,\ B\) 代替 \(f\) ，就能做到 \(O(nm)\) 了

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CF1236E Alice and the Unfair Game

有排成一排的 \(n\) 个箱子，初始时你可以决定将一个小球放在某一个箱子中；Alice 会问你 \(m\) 个问题，第 \(i\) 个问题为第 \(q_i\) 个箱子里是否有球

你在每一次询问后和第一次询问前，可以将小球从原来的箱子挪到与之相邻的箱子，即每次操作可以将小球所在位置 \(i\) 变为 \(i-1(i>1),\ i,\ i+1(i<n)\) ；一个操作序列合法当且仅当使得 Alice 的每次询问都为否

问有多少种不同的状态 \((x,\ y)\) 为，初始时小球在第 \(x\) 个箱子，在你的最后一次操作后小球位于第 \(y\) 个箱子，且能找到至少对应的一种合法的操作序列

\(1\leq n,\ m\leq10^5\)

注意到固定 \(x\) 后，合法的 \(y\) 一定是一段区间，考虑对每种 \(x\) 顺序执行操作，整体维护合法的 \(y\) 的区间

考虑维护左端点，在一次询问前，左端点 \(=q_i+1\) 的位置一定不会向左拓展，其余的会整体向左拓展 \(1\) ，可以将所有左端点 \(=q_i+1\) 的位置合并到左端点 \(=q_i+2\) 的位置，用并查集实现即可；右端点同理

注意特判 \(n=1\) 以及清空

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CF1045G AI robots

有 \(n\) 个元素和一个常数 \(K\) ，每个元素有三个权值 \(x_i,\ r_i,\ q_i\) ，问满足以下条件的无序二元组 \((i,\ j),\ i\neq j\) 的个数：

1. \(x_i\in[x_j-r_j,\ x_j+r_j]\)
2. \(x_j\in[x_i-r_i,\ x_i+r_i]\)
3. \(|q_i-q_j|\leq K\)

• \(n\leq10^5,\ K\leq20\)
• \(0\leq x_i,\ r_i,\ q_i\leq10^9\)

有三种考虑方式：

1. 升序枚举 \(x_i\) ，统计 \(x_j\ge x_i\) 的满足条件的二元组对数
2. 升序枚举 \(r_i\) ，统计 \(r_j\ge r_i\) 的满足条件的二元组对数
3. 升序枚举 \(q_i\) ，统计 \(q_j-q_i\leq K\) 的满足条件的二元组对数

1，3 做法都会剩下 \(x_i\in[x_j-r_j,\ x_j+r_j],\ x_j\in[x_i-r_i,\ x_i+r_i]\) 的限制，而 2 做法的好处在于，对于 \(x_j\in[x_i-r_i,\ x_i+r_i]\) 的 \(j\) ，一定满足 \(x_i\in[x_j-r_j,\ x_j+r_j]\)

接下来就随便搞搞，可以做三维偏序，也可以对于 \(i\) 枚举满足 \(|q_i-q_j|\leq K\) 的 \(q_j\) ，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\) 或 \(O(nK\log n)\)

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CF848C Goodbye Souvenir

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\) ，定义一种数 \(x\) 在区间 \([l,\ r]\) 的权值为： \(x\) 在 \([l,\ r]\) 最后一次出现的下标 - \(x\) 在 \([l,\ r]\) 第一次出现的下标

有 \(m\) 次操作，单点修改，询问一段区间中每种数的权值和（即只对每种在 \([l,\ r]\) 中出现过的数统计答案）

\(n, m\leq10^5\)

记 \(lst_i\) 为上一个与 \(i\) 颜色相同的位置， \(nxt_i\) 为下一个与 \(i\) 颜色相同的位置。两种切入方式：

1. 如果 \(lst_i<l\) ，则对答案有 \(-i\) 的贡献，如果 \(nxt_i>r\) 则对答案有 \(i\) 的贡献
2. 记位置 \(i\) 的权值 \(v_i=i-lst_i\) ，那么答案即为所有满足 \(lst_i\ge l\) 的位置的 \(v_i\) 和

都能看做三维偏序，不过第二种好写一点

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CF1012B Chemical table

给定一个 \(n\times m\) 的矩形，一开始有 \(q\) 个格子被标记。对于任意的 \(x1,\ y1,\ x2,\ y2\) ，如果 \((x1,\ y1),\ (x_1,\ y_2),\ (x_2,\ y_1)\) 均被标记，则 \((x_2,\ y_2)\) 也会被标记。问至少需要手动标多少个格子，使得矩形内所有点都被标记

\(n,\ m,\ q\leq2\times10^5\)

新建一个二分图，左部有 \(n\) 个点代表每一行，右部有 \(m\) 个点代表每一列，矩形中的一个点 \((x,\ y)\) 被看做连接第 \(x\) 个左部点和第 \(y\) 个右部点的边

可以发现，对于一个连通块，必定可以拓展成一个完全二分图，因此只需要将原图缩成一个连通块，即统计连通块个数

CF1140F Extending Set of Points

有一个可以插入删除元素的集合 \(S\{x,\ y\}\) ，定义 \(S\) 的拓展集合为：

1. 包含 \(S\) 中所有点 \((x,\ y)\)
2. 对于任意的 \(x1,\ y1,\ x2,\ y2\) ，如果 \((x1,\ y1),\ (x_1,\ y_2),\ (x_2,\ y_1)\) 均存在于拓展集合，则 \((x_2,\ y_2)\) 会被加入拓展集合。

在每次插入或删除元素后，输出当前集合的拓展集合大小

\(q,\ x,\ y\leq3\times10^5\)

同样的，如果只有加入操作，用并查集维护，若连接的两个点不在同一个连通块，则增加的拓展集合大小为两点所在连通块大小乘积

删除操作直接线段树分治即可

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杂题

给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a_i\) ，有两种操作：

1. 给出 \(x,\ y\) ，将 \(a_x\) 修改为 \(y\)
2. 给出 \(x\) ，找到满足 \(\gcd(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_p)\times(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_p)=x\) 的最小的 \(p\) ，其中 \(\oplus\) 是 xor

强制在线

• \(n,\ q\leq10^5\)
• \(a_i\in[0,\ 10^9]\)

由于不同的前缀 \(\gcd\) 值只有 \(O(\log)\) 种，可以暴力考虑每一段前缀 \(\gcd\) 值相同的一段，找到这些连续段可以魔改一下线段树二分，修改、找到所有连续段是 \(O(\log^2n)\) 的

接下来只需要支持，单点修改，查询一段后缀中满足前缀异或和 \(=k\) 的最靠前的位置

发现做法假了/kk，换一种做法（）暴力分块，用 hashmap 维护块内权值出现情况，这一部分时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

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杂题

有 \(n\) 个人，有一些人住双人宿舍，其余人住单人宿舍；有一些人与唯一的同桌共用一张双人桌，其余人用单人桌

求有多少个排列 \(p\) 满足，原本第 \(i\) 个人换到 \(p_i\) 的宿舍以及桌子上后，原本的室友以及同桌关系不变，答案对 \(10^9+7\) 取模

\(n\leq2\times10^5\)

将宿舍以及同桌关系看做两种不同边权的边，建成一张 \(n\) 个点的图，显然这张图的每个连通块都是链或者环

容易发现，如果整张图中有 \(x\) 个长度为 \(k\) 的环，有 \(x!\times k^x\) 种方案；如果整张图中有 \(x\) 条最左侧最右侧两条边均为宿舍关系，有 \(x!2^x\) 种方案，两侧边权均为同桌关系同理；如果两侧边权不同，有 \(x!\) 种方案

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杂题

给定一棵 \(n\) 个点的带非负边权树，你需要给每个点确定一个值 \(a_i\) ，使得 \(\forall\ u,\ v\in[1,\ n],\ |a_u-a_v|\leq dis(u,\ v)\) ，其中 \(dis(u,\ v)\) 为 \(u,\ v\) 在树上的最短路长度

每个值 \(a_i\) 只能是 \([l_i,\ r_i]\) 中的值，你可以花费 \(x\) 的代价（ \(x\ge 0\) ），使得每个点的限制变成 \([l_i-x,\ r_i+x]\)

问至少有一种确定 \(a_i\) 的方法时，代价的最小值

• \(n\leq10^6\)
• \(0\leq w,\ |l_i|,\ |r_i|\leq10^9\)

做法一：

考虑差分约束系统，新建一个 \(0\) 号点，向每个点连边权为 \(r_i\) 的单向边，每个点向 \(0\) 连边权为 \(-l_i\) 的单向边，有解当且仅当图中不存在负环

单向边 \((0,\ i,\ r_i)\) 相当于限制 \(a\leq r_i\) ，单向边 \((i,\ 0,\ -l_i)\) 相当于限制 \(l_i\leq a_i\) ，可以将树中的边看做一张完全图， \(u,\ v\) 之间的双向边边权为 \(dis(u,\ v)\) ，则完全图中的一条双向边 \((u,\ v,\ w)\) 的限制为 \(|a_i-a_j|\leq w\) ，等价于题目条件

可以发现并不用二分，因为每个简单环必定经过 \(0\to i,\ j\to 0\) 两条边，因此只需要求出图中最小环的权值 \(x\) ，答案即为 \(\lfloor\frac{\min(0,\ x)}2\rfloor\)

最小环可以 dijkstra 或 树形dp，时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)

做法二：

有解当且仅当，存在一组 \(a_i\) ，使得对于任意一条边 \((u,\ v,\ w)\) ，满足 \(|a_u-a_v|\leq w\)

证明：

• 对于三元组 \((u,\ v,\ w)\) ，若 \(u\) 是 \(v\) 的祖先， \(v\) 是 \(w\) 的祖先，存在 \(|a_u-a_v|\leq dis(u,\ v),\ |a_v-a_w|\leq dis(v,\ w)\) ，由 \(|a+b|\leq|a|+|b|\) 得到 \(|a_u-a_w|\leq dis(u,\ w)\)

• 对于三元组 \((u,\ v,\ w)\) ，若 \(lca(v,\ w)=u\) ，存在 \(|a_u-a_v|\leq dis(u,\ v),\ |a_u-a_w|\leq dis(u,\ w)\) ，即 \(A\leq x,\ B\leq y\) 显然存在 \(|A-B|\leq x+y\) ，即 \(|a_v-a_w|\leq dis(v,\ w)\)

对于 \(u\) 的子树， \(a_u\) 的取值是一段区间，由于上述结论，可以直接从儿子节点转移过来维护，即 \(l_u=\max(l_v-w),\ r_u=\min(r_v+w)\) ，其中 \(w\) 是 \((u,\ v)\) 的边权。现在只需要取到一个 \(x\) 使得每个节点的取值范围非空，即 \(x=\lfloor\frac{\displaystyle\min_{u\in[1,\ n]}(0,\ r_u-l_u)}2\rfloor\) ，时间复杂度 \(O(n)\)

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有一个连续型随机变量 \(y=g(x)\) ，密度函数为 \(f(x)\) ，则有 \(E(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)

期望的线性性

方差

有一个连续型随机变量 \(x\) ，密度函数为 \(f(x)\) ，则 \(x\) 的方差为 \(D(x)=E[(x-E(x))^2]\) ，可以将 \(E(x)\) 看做常数

可以用更简洁的方式表达： $$\begin{aligned}D(x)&=E[x^2-2xE(x)+E2(x)]\&=E(x^{2)-2E(x)E(x)+E}2(x)\&=E(x^2)-E2(x)\end{aligned}$$

由期望的性质，可以得到以下结论：

1. \(C\) 是常数，则 \(D(C)=0\)
2. \(a,\ b\) 为常数，则 \(D(ax+b)=a^2D(x)\)
3. 当 \(x,\ y\) 独立时，有 \(D(x\pm y)=D(x)\pm D(y)\)

3 的证明：以 \(D(x+y)=D(x)+D(y)\) 为例

\(\begin{aligned}D(x+y)&=E((x+y)^2)-E^2(x+y)\\&=E(x^2+2xy+y^2)-(E(x)+E(y))^2\\&=E(x^2)+2E(x)E(y)+E(y^2)-E^2(x)-2E(x)E(y)-E^2(y)\\&=E(x^2)-E^2(x)+E(y^2)-E^2(y)=D(x)+D(y)\end{aligned}\)