杂题20200407
给定 \(n\) 个点和一个常数 \(D\) ，第 \(i\) 个点权值为 \(a_i\) ，点 \(i,\ j\) 之间有一条边权为 \(|i-j|\times D+a_i+a_j\) 的边，求这张完全图的 MST 权值
- \(n\leq2\times10^5\)
- \(D,\ a_i\in[1,\ 10^9]\)
我会 Boruvka 直接莽， \(O(nlog^2n)\)
考虑分治，假设当前处理到了区间 \([l,\ r]\) ，可以发现 \([l,\ mid]\) 与 \([mid+1,\ r]\) 之间的某些边是不会被用到的，只用建出 区间 \([l,\ mid]\) 内 \(A_{pos}-pos\times D\) 最小的 \(pos\) 到 \([mid+1,\ r]\) 中每一个点的边；区间 \([mid+1,\ r]\) 内 \(A_{pos}+pos\times D\) 最小的 \(pos\) 到 \([l,\ mid]\) 中每一个点的边
一共会建出 \(O(n\log n)\) 条边，暴力求最小生成树，时间复杂度 \(O(n\log ^2n)\)
还有一种线性的神仙做法，鸽了
GCJ 2018 Round 1B Task2 Mysterious Road Signs
给定三个长为 \(n\) 的序列 \(A,\ B,\ D\) ，其中 \(D\) 单调递增
定义一段区间 \([l,\ r]\) 合法，当且仅当 \(\exist\ (M,\ N),\ \forall\ l\leq i\leq r,\ D_i+A_i=M\) 或 \(D_i-B_i=N\) 成立
求出合法区间的最长长度，与最长的合法区间个数
- \(n\leq10^5\)
- \(A_i,\ B_i,\ D_i\in[1,\ 10^6]\)
做法一：
分治，对于区间 \([l,\ r]\) ，求出 \(mid,\ mid+1\) 对应的 \(M,\ N\) ，往左 / 往右找到第一个不满足 \(M\) / \(N\) 限制的位置，讨论四种情况即可， \(O(n\log n)\)
做法二：
记 \(f(i,\ j,\ k)\) 为 以 \(i\) 结尾，限制条件中的 \(M=j,\ N=k\) 时，最长的合法区间长度
有用的状态数显然是线性的
转移可以考虑记一个 \(g1(i,\ j)\) 表示限制条件中的 \(M=j,\ N=-1\) 时，最长的合法区间长度； \(g2(i,\ k)\) 表示限制条件中的 \(M=-1,\ N=k\) 时，最长的合法区间长度
现在 \(f(i,\ j,\ k)\) 就可以从 \(f(g1(i,\ j)-1),\ f(g2(i,\ k)-1)\) 转移，时空复杂度 \(O(n)\)
CF444C DZY Loves Colors
给定一个序列，初始 \(a_i=i\) ，每个位置的权值为 \(0\) ，有 \(q\) 次操作：
- 将区间 \([l,\ r]\) 赋值为 \(x\) ，如果第 \(i\) 个位置被赋值为 \(x\) ，第 \(i\) 个位置的权值会增加 \(|a_i-x|\)
- 询问区间 \([l,\ r]\) 的权值和
\(n,\ q\leq10^5\)
结论：序列的颜色段数量在 \(q\) 次操作中总共只会有 \(O(n+2q)\) 种
因此在线段树上，对于区间颜色相同的点直接打 tag，否则暴力递归
CF808G Anthem of Berland
给定两个串 \(s,\ t\) ，\(s\) 包含小写字母和问号， \(t\) 仅包含小写字母
将 \(s\) 中的每个问号变成一个小写字母（共 \(26^{cnt}\) 种方案），求出所有方案中， \(t\) 匹配 \(s\) 子串的次数的最大值
\(|s|,\ |t|\leq10^5;\ |s|\cdot|t|\leq10^7\)
做法一：
记 \(f_{i,\ j}\) 为走到 \(s\) 的第 \(i\) 位，匹配了 \(t\) 的前 \(j\) 个字符，当前答案的最大值
对于 \(s_i=\ ?\) ，暴力枚举 \(26\) 种字符，使用 kmp 转移
做法二：
记 \(f_i\) 为走到 \(s\) 的第 \(i\) 位，当前答案的最大值
可以枚举是否在 \(i\) 处匹配一个 \(t\) 转移，由于最优解 \(t\) 的所有匹配位置可能有交，因此要枚举 \(t\) 的所有 next，但是这并不能保证 \(s\) 对应位置等于 \(t\) 的某一个前缀，因此需要保证在上一段 \(s\) 的末尾放了一个 \(t\)
因此记 \(g_i\) 为强制在 \(s\) 的第 \(i\) 位匹配一个 \(t\) ，当前答案的最大值，即可转移
CF1327D Infinite Path
给定一个长为 \(n\) 的排列 \(p\) ，和一个颜色序列 \(c_i\)
定义两个排列 \(p,\ q\) 的乘积为 \(\{p_{q_i}\}\)
找到最小的正整数 \(k\) ，令 \(q=p^k\) ，存在 \(i\) 满足 \(c_i=c_{q_i}=c_{q_{q_i}}=\cdots\)
\(\displaystyle\sum n\leq2\times10^5\)
结论1：将 \((i,\ p_i)\) 连边，对于 \(p\) 中的所有环，在新图内从这个环的第 \(i\) 个点向第 \(i+k\) 个点连边，构成了 \(p^k\) 的图
结论2：令 \(p\) 中的某一个环环长为 \(sz\) ，则这个环在 \(p^k\) 中构成的环与 \(p^{\gcd(k,\ sz)}\) 中构成的环元素相同
题目即为找一个 \(k\) 使得 \(p^k\) 存在一个颜色相同的环，由于结论2，对于 \(p\) 中的一个环，枚举 \(sz\) 的所有因数 \(k\) ，考虑这个环在 \(p^k\) 中的构成，判断是否满足条件，时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)
