BZOJ - 1010【斜率优化DP】

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解：很朴素的n^2DP是显然的，设dp[i]为完成前i个任务的最小花费 。

则dp[i] = min(dp[j] + (sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2);但是会超时的，就去学了斜率优化。具体见博客。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 1010
    User: Jstyle
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:176 ms
    Memory:2844 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++ i)
#define per(i,a,b) for(int i = a;i >= b;-- i)
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define FOUT freopen("out.txt","w",stdout)
#define IO ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls (id<<1)
#define rs ((id<<1)|1)
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFF ((1LL<<62)-1)
typedef long long LL;
using namespace std;
 
LL n, q[N],L, a[N], dp[N], sum[N];
 
double cal(int x, int y){       
    return (dp[x]-dp[y]+sum[x]*sum[x]-sum[y]*sum[y])*1.0/(sum[x]-sum[y]);
}
void Init(){
    mem(dp, 0);
    mem(sum, 0);
}
int main()
{IO;
    //FIN;
    while(cin >> n >> L){
        Init();
        rep(i, 1, n){
            cin >> a[i];
            sum[i] = sum[i-1] + a[i] + 1;
        }
        int l = 0, r = 0;
        rep(i, 1, n){
            while(l < r && cal(q[l], q[l+1]) <= 2*(sum[i]-1-L))   l++;
            int id = q[l];
            dp[i] = dp[id]+(sum[i]-sum[id]-1-L)*(sum[i]-sum[id]-1-L);
            while(l < r && cal(q[r], i) < cal(q[r-1], q[r]))  r--;
            q[++r] = i;
        }
        cout << dp[n] << endl;
    }
    return 0;
}