P6663题解

P6663

某人场上写了：

for(int k=j-1;k>=1;k++){
    pd((edge){k,l,k,l+1});
}

导致挂 $40$ pts。

题意

有 $n\times m$ 的网格图，构造出一棵树，要求每个格子都在树上，且树的直径为 $d$。可能无解。

$n,m\le 1000,k\le {10}^6$。

Sol

先考虑无解的情况，即 $n,m$ 对于 $d$ 的限制。直径最大值是好构造的，即所有点形成一条长度为 $nm-1$ 的链，画出来长成这样：

再考虑下界，由于最左上角和右下角是联通的，因此至少也应该是 $(n-1)+(m-1)$。先尝试直接构造出来一种最小直径的方案：

但这个结论并不正确，不论是通过手玩还是对拍会发现，这种情况可以存在当且仅当 $m$ 或者 $n$ 是奇数的情况，即我们能够找到从中间劈开来的一列。如果两个都是偶数，找不到，因此应该是如下图的 $(n-1)+(m-1)+1$ 的下界。

判断完界限之后，考虑如何构造的问题。我们可以从直径最小的情况出发，看有没有方法能够每一次给直径 $+1$ 最终达到直径最大的情况。由于奇数的情况简单，先从奇数入手。参照最大直径的情况，尝试每一次改变一条边，让直径增大。

按照这种翻转操作（当然有非常多的改变方法，这仅仅是本人考场上想到的，不代表最优方法），对于分割线右边从左到右翻转，可以做到每次对于答案增加 $1$，并且不会影响到其他的结构。对于左边同理，这样做完刚好可以回到直径最大的情况。

最后考虑偶数的情况，其实是类似的，只是多了中间的一条边。先考虑移动中间的一条边（即图三的橙色边），每次平移都会让答案增大 $2$。那么只需要开始先移动这条边，之后再做与奇数相同的操作即可。

总结，先判断是否有解，之后看 $n,m$ 是否都是偶数，如果不是就找到奇数的那个数并从中劈开，然后模拟从最小直径每次翻转边 $+1$ 的过程。如果都是偶数，先用中间的边每次 $+2$，最后通过与奇数操作一样的来调整 $+1$。

这道题难点可能就在于代码实现上面了。

考场代码