牛客网 【每日一题】4月15日 Treepath

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题目描述

给定一棵n个点的树，问其中有多少条长度为偶数的路径。路径的长度为经过的边的条数。x到y与y到x被视为同一条路径。路径的起点与终点不能相同。

输入描述:

第一行一个数n表示点的个数； 接下来n-1行，每行两个整数x，y表示边； 保证输入数据形成一棵树； 1<=n<=100000

输出描述:

一行一个整数表示答案。

示例1
输入

3
1 2
1 3

输出

1

题解：

求长度为偶数的路径
偶数层的点到偶数层的点长度是偶数
奇数层到奇数层的点的路径长度也是偶数
奇数层的点到偶数层的点路径长度就算奇数
所以需要统计多少个奇数层多少点偶数层多少点
我们发现如果层数奇偶性一样，路径长度就是偶数
为什么呢？引用邓老师的讲解

我们可以考虑先让两个点里深度深的那个往上走，走到和另外一个点一样的高度，这个显然是偶数步完成的，之后两个点一起往上走直到汇合，走到步数是一样的，所以最终加起来也是偶数。

然后我们会用到数组dp[][]
dp[i][0/1]表示以i为根的子树，与根节点i的距离
因为距离长度只有偶数奇数两种情况，所以我们把偶数设为0，奇数设为1，这样好统计
u是v的父亲，
也就是一个来自v的子树的点，到u点的路径会比到v的路径长度 长1
这样我们有：
dp[u][0]+=dp[v][1]
以u为根的子树，与u的距离长度为偶数的情况一个本身，另一个来自dp[v][i].因为以v为根节点，与v的距离为奇数，那到u的距离就要加1，也就是偶数
dp[u][1]+=dp[v][0]
同理

sum + = dp [ u ] [ 0 ] * dp [ v ] [ 1 ] + dp [ u] [ 1 ] * dp [ v ] [ 0 ]
已有dp[u][0]条以u为端点长度为偶数的路径，与dp[v][1]条以v为端点长度为奇数的路径合并可以得到 dp [ u ] [ 0 ] * dp [ v ] [ 1 ] 条长度为偶数的路径
同理dp[u][i]*dp[v][0]也是一样

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+2;
using namespace std;
ll dp[maxn][3];
ll sum=0;
vector<int> edge[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
	dp[u][0]=1;
     for (int v : edge[u]) 
	{
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	
			sum+=dp[u][0]*dp[v][1]+dp[u][1]*dp[v][0];
			dp[u][0]+=dp[v][1];
			dp[u][1]+=dp[v][0];

	}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int a,b;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		cin>>a>>b;
		edge[a].push_back(b);
		edge[b].push_back(a);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<sum;
}