牛客网【每日一题】4月29日题目精讲 Symmetric Matrix
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64bit IO Format: %lld
题目描述
输入描述:
The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.
输出描述:
For each test case, print an integer which denotes the result.
示例1
输入
3 1000000000
100000 1000000000
输出
1
507109376
备注:
- 1 ≤ n ≤ 105
- 1 ≤ m ≤ 109
- The sum of n does not exceed 107.
题解:
利用OEIS求解:
我们先枚举出n=2,3,4,5,6时,答案分别是多少?
n=2 sum=1
n=3 sum=1
n=4 sum=6
n=5 sum=22
然后在OEIS直接搜1 1 6 22就会弹出这个如图
OEIS是一个整数数列线上大全,可以利用数列中部分值查询这个数列以及公式
(第一次用OEIS,才发现有这么一个宝贝)
根据如图,可以得到式子
a(n)= ( n-1 ) * ( a(n - 1 ) * a( n-2 ) ) - ( n-1 ) * ( n-2 ) * a(n-3) /2
对了不要忘了mod m
具体证明:
不大会。。。
结合多篇文章,自己的理解
矩阵我们可以转化成图的构造,你就想想图的那个邻接矩阵表示法,(也就是常用的二维数组存边)边权值表示点与点有几条边
因为对称位置值相同(题目所给),每个点都会连接两个边,形成环,又因为对角线为0,所以边不可能连接自身
a[n]表示有n个点的情况
我们要做的时候,如果从a[n-1]推到a[n],也就是从n-1个点推到n个点
两种情况:
第一种: n-1个点选出一个的点与第n个点连接形成环,其他n-2个点自由连接
(n-1)f[n-2]
第二种:n-1个点选出一个点x与第n个点连接成边,但是暂不成环,只是单向连,然后n-1个点自由连,一定会出现空出一个点y只连接一次,再和第n个点相连
(n-1)f[n-1]
答案就是f[n]=(n-1)*( f[n-2]+f[n-1] )
但是情况二会存在重复,
因为矩阵是关于对角线对称的,第二种情况中,咱们一开始选出的点是x,最后选出的是y,如果倒过来先选的y后选的x,最后出来的矩阵效果是一样的,选x的方案数是n-1,选y是n-2,剩下n-3个数自由选择,倒过来会重复,所以减去 的值要除以2
所以重复的部分是(n-1)(n-2)f[n-3]/2
最后合在一起就OK了:a(n)= ( n-1 ) * ( a(n - 1 ) * a( n-2 ) ) - ( n-1 ) * ( n-2 ) * a(n-3) /2
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn = 1e5 +5;
ll n,m;
ll f[maxn];
void init()
{
f[1]=0;
f[2]=1;
f[3]=1;
}
int main(){
while(cin>>n>>m)
{
init();//初始化
for(ll i=4;i<=n;i++)
{
f[i]=((i-1)*f[i-2]+(i-1)*f[i-1]-(i-2)*(i-1)/2*f[i-3])%m;
}
printf("%lld\n",(f[n]+m)%m);
}
return 0;
}