斐波那契数列求法
求斐波那切数列的几个方法:
经典做法:
众所周知:斐波那契数列的定义是f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)
我们有两种方式来实现:一个是递归,一个是动态规划
递推:
int dfs(int n)
{
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
return dfs01(n - 1) + dfs01(n - 2);
}
动态规划
int dfs03(int n)
{
vec[maxn]
vec[0] = 1;
vec[1] = 2;
int i;
for (i = 2; i < n; i++)
{
vec[i] = vec[i - 1] + vec[i - 2];
}
return vec[i-1];
}
矩阵快速幂
经典做法只要数一大就会超时,我们可以用矩阵快速幂进行优化,能将时间复杂度降到O(logN)
(如果全位输出斐波那契数,貌似最大能算法到93,但是如果带mod,那就可以算很大)
常用于求第n位斐波那契数的后x位(mod 10x)
原理:
快速幂+矩阵
矩阵乘法:左矩阵的第一行乘以右矩阵的第一列(分别相乘),乘完后相加
单位矩阵: nn的矩阵 mat ( i , i )=1; 任何一个矩阵乘以单位矩阵就是它本身 n单位矩阵=n, 可以把单位矩阵等价为整数1。(单位矩阵用在矩阵快速幂中)
在斐波那契数列中:
f[n ] = 1 * f[n-1] + 1 * f [n - 2]
f[n-1] =1 * f[n-1] +0 * f [n - 2]
我们用矩阵来表示:
这就表示了斐波那契数列如何用矩阵来实现。
代码:
#include <iostream>
#include <cstddef>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=10000;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;
mat mul(mat &a,mat &b)
{
mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
for(int i=0; i<2; i++)
{
for(int j=0; j<2; j++)
{
for(int k=0; k<2; k++)
{
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
c[i][j]%=mod;
}
}
}
return c;
}
mat pow(mat a,ll n)
{
mat res(a.size(),vec(a.size()));
for(int i=0; i<a.size(); i++)
res[i][i]=1;//单位矩阵;
while(n)
{
if(n&1) res=mul(res,a);
a=mul(a,a);
n/=2;
}
return res;
}
ll solve(ll n)
{
mat a(2,vec(2));
a[0][0]=1;
a[0][1]=1;
a[1][0]=1;
a[1][1]=0;
a=pow(a,n);
return a[0][1];//也可以是a[1][0];
}
int main()
{
ll n;
while(cin>>n&&n!=-1)
{
cout<<solve(n)<<endl;
}
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
struct matrix //定义结构体矩阵
{
ll x[2][2];
} ;
matrix mul(matrix a,matrix b) //矩阵乘法运算
{
matrix ans;
memset(ans.x,0,sizeof(ans.x));
for(int i=0;i<2;i++) //三个循环表示两个方阵相乘,可手动推写一遍
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
for(int k=0;k<2;k++)
{
ans.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
ans.x[i][j]%=mod;
}
}
}
return ans;
}
matrix quickpow(matrix p,ll n) //矩阵快速幂,与快速幂道理方法相同
{
matrix ans;
for(int i=0;i<2;i++)
{
for(int j=0;j<2;j++)
{
if(i==j){ans.x[i][j]=1;} //一开始初始化他为单位阵
else ans.x[i][j]=0;
}
}
while(n)//快速幂
{
if(n&1)
{
ans=mul(ans,p);
}
p=mul(p,p);
n>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
matrix m;
m={0,1,1,1};
ll n;
cin>>n;
ll ans1=0;
matrix ans=quickpow(m,n-1);
cout<<ans.x[1][1]<<endl;
return 0;
}
例题:
模拟过程
如果数很大,比如求1000的斐波那契数列,矩阵快速幂也求不出来,那咋办?
我们可以模拟斐波那契数列数列计算的过程,斐波那契数列的定义是f(n + 1) = f(n) + f(n - 1),我们可以手写加减,模拟进行加减运算
例题 大菲波数
H DU - 1715
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
int n,q,i,j,temp=0;
cin>>q;
while(q--)
{
cin>>n;
char a[10010]="1",b[10010]="1",c[10010]={0};
for(i=0;i<n-2;i++){
int len=max(strlen(a),strlen(b));
for(j=0;j<len;j++){ //模拟加法
temp=0;
if(a[j]>='0'){ //短的数不加
temp+=a[j]-'0';
}
if(b[j]>='0'){
temp+=b[j]-'0';
}
if(temp>=10){ //判断进位
if(c[j]>='0'){
c[j]+=temp-10;
}
else{
c[j]+=temp-10+'0';
}
c[j+1]=1+'0';
}
else{
if(c[j]>='0'){
if(temp==9){ //若前位进位了,而且加上的数字是9,那么还要进位!!!
c[j]='0';
c[j+1]='1';
}
else{
c[j]+=temp;
}
}
else{
c[j]+=temp+'0';
}
}
}
strcpy(a, b);
strcpy(b, c);
memset(c, 0, sizeof(c));
}
int len=strlen(b);
for(i=len-1;i>=0;i--){ //倒着输出
printf("%c",b[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}