最大子矩阵(普通和01)
普通矩阵(单个矩阵值为任何数)
例题:POJ 1074
求出其中最大的子矩阵
答案是:
9 2
-4 1
-1 8
最大和是15
我们先想想如果不是矩阵,是一个数组,求其中连续的最长一段,咋做?
最大子段和
我们用b[i]来表示a[0]…a[1]的最大子段和
那么b [ i ] =max ( b [i - 1 ] + a [ i ], a [ i ] )
当a[n] 大于dp[n-1](前n-1个元素序列的最大子段和)。此时舍弃前面的子段和,即断开。
否则的话,把a[n]连接到前n-1个元素序列的最大和子段上,即dp[n] = dp[n-1] + a[n]
int MaxSum(int n,int *a)
{
int sum=0,b=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) sum=max(sum,b+=a[i]);//不要忘了把b更新
else sum=max(b=a[i],sum);
}
return sum;
}
扩展到二维情况
二维矩阵排列方式如图
参考题解
如果红色是我们要找的最大子矩阵
那和就是:(a[q][i]+…+a[p][i],a[q][i+1]+…+a[p][i+1],…,a[q][j]+…a[p][j])=(sum1,sum2,…,sumn)
sum也就是每一列的相同行数相加
这不也是sun的一维数组,那其实就是一个一维数组的最大子段问题
如果把二维数组看成是纵向的一维数组和横向的一维数组
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int maxsub(int a[], int n)
{
int i, max = a[0], b = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
if (b + a[i] >= a[i]) //当n-1的最大字段和+a[i]>=原来的最大字段和
b += a[i]; //则n的最大字段和为b+a[i]
else //否则,就是a[i]
b = a[i];
if (b > max) //找到最大的最大字段和
max = b;
}
return max;
}
int main()
{
int n, i, j, k, maxsubrec, maxsubarr, m;
int dp[101][101], arr[101];
cin >> n >> m;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < m; j++)
cin >> dp[i][j];
maxsubrec = dp[0][0];
for (i = 0; i < n; i++) //i用于标识从哪行开始,依次选择行
{
memset(arr, 0, sizeof(arr));
for (j = i; j < n; j++) //从第i行开始,j为选择几行
{
for (k = 0; k < m; k++) //从1列选择到m列,压缩行
arr[k] += dp[j][k];//arr表示每列的值
maxsubarr = maxsub(arr, m); //从每一个压缩行中选择最大字段和
if (maxsubarr > maxsubrec) maxsubrec = maxsubarr;
}
}
cout << maxsubrec << endl;
return 0;
}
01矩阵(单个矩阵值为0或1)
参考题解
POJ - 3494
其实就是没有负数情况
我一开始想的是将最大子矩阵的代码中,如果一个数为0就赋值为-10000(这样程序就肯定不会选择这个块)
但是这样会超时
针对01矩阵我们可以这么想:
每一个单元格的值等于它所在列的连续1的数量,如果当前行为1,则当前行的值就等于上一行加1,如果当前行为0,则他的值也是0
我们扫描每一行,求出这一行中可形成的矩形最大面积,然后去最大情况即可
然后我们要用到一个单调递减的单调栈,
如果栈为空或者当前元素大于等于栈顶元素,则入栈
若栈非空且当前元素小于栈顶元素,则将栈顶弹出,更新面积最大值,直到栈空或者遇到第一个大于等于当前元素
将最后一个出栈的栈顶元素(最后一个大于当前元素的)向左右延伸,修改其值,并入栈。
核心都是对于每个高度为h的矩形,找到最左高度大于等于它的位置,和最右的位置。
我们看第三行:
0 1 3 2 0 0 0
0先入栈,然后1入栈,然后3入栈,然后到2时,2<3,计算此时的矩阵面积=(4-3) * 3=3,此时最大面积是3,然后将值3改为2,此时就是0 1 2 2 ,然后0<2,计算此时面积 = (5-3) * 2=4,最大面积就是4,一次类推,都是按照这个操作
代码:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
int main()
{
//top指向栈顶;tmp为临时变量,记录面积的值;ans为答案,记录面积的最大值
int i,j,m,n,x,top,tmp,ans,h[2020],a[2020];
stack<int> st; //单调栈,记录位置
while(~scanf("%d%d",&m,&n))
{
ans=0;
memset(h,0,sizeof(h)); //用于第一行的处理
for(i=0;i<m;i++)
{ //扫描每一行
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&x);
if(x==1) h[j]=h[j]+1; //如果是1,则在上一行本列的基础上+1
else h[j]=0; //否则为0
a[j]=h[j]; //a数组用来向左右扩展
}
a[n+1]=-1; //设最后元素为最小值,以最后让栈内元素出栈
for(j=1;j<=n+1;j++)
{
if(st.empty()||a[j]>=a[st.top()])
{ //如果栈为空或入栈元素大于等于栈顶元素,则入栈
st.push(j);
}
else
{
while(!st.empty()&&a[j]<a[st.top()])
{ //如果栈非空并且入栈元素小于栈顶元素,则将栈顶元素出栈
top=st.top();
st.pop();
tmp=(j-top)*a[top]; //计算面积值
if(tmp>ans) ans=tmp; //更新面积最大值
}
st.push(top); //将最后一次出栈的栈顶元素延伸并入栈
a[top]=a[j]; //修改其对应的值
}
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}