我算出了水桶的厚度！

最近不是在玩原神嘛，就对 Minecraft 中的水桶产生了好奇，于是提出了一个很有意思的问题：

MC 中的水桶有多厚？这里假设水桶的把手横截半径、底面厚度、侧面厚度均相同。

读者不妨自己试一试，看看能不能算出来。如果没有，一定要看到最后！

首先，我们知道水桶的配方是三块铁锭，而九块铁锭等于一个铁块，一个铁块的体积是 \(1m^3\)。所以水桶的总体积为 \(\frac{1}{3}m^3\)。

其次，一个水桶能装 \(1m^3\) 的水，即是它的容积为 \(1m^3\)。

有了这两个数据，剩下的就是简单的列方程求解了。

设水桶的厚度为 \(d\)，底面半径为 \(R\)，高为 \(h\)。我们为了严谨起见，将底面和侧面相交的位置归到底面去，那么真实的碰到水的底面部分半径为 \(r\)，其中 \(R-r=d\)。

那么我们能够算出水桶的容积：

\[V_0=\pi r^2h=1 \]

那么 \(h=\frac{1}{\pi r^2}\)。我们把 \(R\)，\(h\) 全部用 \(r\) 代替，就能够将整个水桶除去把手的体积算出来：

\[V_1=V_{\text{底}}+V_{\text{侧}} \\ =\pi R^2 d + (\pi R^2 h - \pi r^2 h) \\ =\pi (r+d)^2 d + \pi [(r+d)^2 - r^2]\frac{1}{\pi r^2} \\ =\pi (r+d)^2 d + \frac{(2r+d)d}{r^2}\]

这个式子我们先放着。初中数学，太简单啦！

接下来就是重头戏：如何计算把手的体积。

我们将把手看成是一个水平的圆绕中心点旋转 \(\frac{\pi}{2}\) 形成的物体。这个东西看上去很规则，然而因为我不知道它叫什么，导致查不到它的体积公式。两年前，我就这样放弃了。

吗？我又来了！（此处响起强劲的 BGM）

设小圆的半径为 \(r\)，圆心到旋转中心的距离为 \(R\)。这里的变量和上面的是独立的。

这里先说一下我算出来的结果：\(V_2=\frac{1}{2}\pi^2Rr^2\)。这个式子出奇地简单！数学太神奇啦！推理的过程在文章末尾，有错欢迎指正！

这里的 \(r\) 等于上面的 \(d\)，这里的 \(R\) 等于上面的 \(r+d\)。于是，我们就能把水桶的体积算出来了：

\[V=V_1+V_2 \\ =\pi (r+d)^2 d + \frac{(2r+d)d}{r^2} + \frac{1}{2}\pi^2(r+d)d^2 \\ =\pi(r+d)d(r+d+\frac{1}{2}\pi d) + \frac{(2r+d)d}{r^2}\\ =\frac{1}{3}\]

这个式子就相当好看了，然而不是很能算。我们直接借用画图小网站，把 \(r\) 当成 \(x\)，\(d\) 当成 \(y\)，发现这个图像相当诡异。

（我本来有一张更大更清晰的图，但是它太大了，我放不下。）

我们估算一下 \(r\) 的大小。参考游戏中水桶的造型，\(2r\) 应当是和 \(h=\frac{1}{\pi r^2}\) 差不多的。所以 \(r\) 在 \(0.5\) 到 \(0.6\) 之间比较正常。

相应地，水桶的厚度约为 \(6cm\)。

\(6cm\)？

毕竟是装岩浆的东西，这么厚一定很正常吧！

退一步讲，至少没算出来非常不正常的数字，大胜利！

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以下是我思考的过程。

让我们想象一个“立体”的平面直角坐标系，这里本该有图的，然而我不会（其实是懒得画）。原点为圆环的中心，x 轴穿过圆环的中心并垂直于圆环，y 轴垂直于 x 轴，刚好从中间穿过圆环。

我们把一个完整的立体“圆环”分成两段函数：

\[y_1=\sqrt{r^2-x^2}+R \]

\[y_2=-\sqrt{r^2-x^2}+R \]

接下来把横截面积函数求出来：

\[f_1(x)=\pi y_1^2=\pi[\sqrt{r^2-x^2}+R]^2 \]

\[f_2(x)=\pi y_2^2=\pi[-\sqrt{r^2-x^2}+R]^2 \]

两者相减，即为圆环在 \(x\) 处的横截面积。

这个东西是个偶函数，我们不妨只算 \(x>0\) 的部分体积，最后乘以二。由于我们要求的是水桶把手，也就是半个圆环，我们算的也是半个圆环，刚好相等，不用乘以二了。也可以看成纵切和横切，刚好把圆环劈成完全相同的两半。

直接积分：

\[V_2=\int_0^r[f_1(x)-f_2(x)]\text{dx} \]

把上面的式子带进去，发现很多项都消掉了：

\[V_2=4 \pi R \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} \text{dx} \]

看到这，后面的一坨的不定积分大家是不是很熟悉？

\[\int \sqrt{a^2-x^2} \text{dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C \]

那么直接应用牛顿-莱布尼茨公式：

\[\int_0^r \sqrt{r^2-x^2} \text{dx}=f'(r)-f'(0) \\ =\frac{\pi r^2}{8}\]

结合之前的式子，即可得到：

\[V_2=4 \pi R \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} \text{dx}=\frac{1}{2}\pi^2 Rr^2 \]

上面那个公式是这样算的：

首先这个根号看上去就非常不顺眼，我们想办法把它吃掉。这时候聪明的小朋友就想到了用美味的三角函数。

使用惊人的注意力注意到 \(-a \le x \le a\)，设 \(x=a\sin t\)，其中 \(-\frac{\pi}{2}\le t \le \frac{\pi}{2}\)。那么我们将 \(x\) 用 \(t\) 换元：

\[\text{dx}=a \cos t \text{dt} \]

\[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2 \sin^2t}=a \cos t \]

运用三角换元，根号没了。

\[\int \sqrt{a^2-x^2} \text{dx}=\int a \cos t \times a \cos t \text{dt} \\ =a^2 \int \cos^2 t \text{dt}\]

嗷，这个形式正是我们熟悉的：

\[\int \cos^2 x \text{dx}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin2x+C \]

这个东西就相当众所周知了吧，两次分部积分就解决了。

那么我们将它代回去：

\[\int \sqrt{a^2-x^2} \text{dx} = \frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t \cos t+C \]

上面运用了恒等式 \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)。

接下来把 \(t\) 换成 \(x\)：

\[\sin t=\frac{x}{a} \\ t=\arcsin\frac{x}{a} \\ \cos t=\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\]

\[\int \sqrt{a^2-x^2} \text{dx} = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C \]

萌新初学微积分，有错求指正，谢谢捏。