现代密码学_公钥密码

——————————————————————————————————密码学中一些常用的数学知识————————————————————————————————

·代数系统

代数系统是对要研究的现象或过程建立起的一种数学模型，模型中包括要处理的数学对象的集合以及集合上的关系或运算。

运算可以是一元的也可以是多元的，可以有一个也可以有多个。

·封闭性

·结合律

·半群

设<G,*>是一个代数系统，*满足:

<1>封闭性

<2>结合律

则称<G,*>是半群

·群

·有限群&无限群

如果G是有限集合，则称<G,*>是有限群，否则是无限群。有限群中，G的元素个数称为群的阶数

·Abel群(交换群)

群中运算*一般称为乘法，称该群为乘法群。若运算*改为+，则称为加法群

·循环群

·环

·域

·有限域

有限域是指域中元素个数有限的域，元素个数称为域的阶

·Galois域

·素数和互素数

1.因子

设a,b(b!=0)是两个整数，如果存在另一整数m，使得a = mb,则称b整除a，记为b|a,且称b是a的因子。

2.素数

·整数分解的唯一性

3.互素数

·最大公因子

·同余，同余类

·费尔玛定理[Fermat定理]

·欧拉函数

·欧拉定理(Euler)

·欧几里得算法(Euclid)

1.求最大公因子

Euclid算法是基于下面一个基本结论:

2.求乘法逆元

#include<stdio.h>
int EX_Euclid(int a,int b){
    int temp,q;
    if(a < b){
        temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    int x[5],y[5],z[5];
    x[1] = 1;
    x[2] = 0;
    x[3] = a;
    y[1] = 0;
    y[2] = 1;
    y[3] = b;
    while((y[3] != 0) && y[3] != 1){
        q = x[3]/y[3];
        z[1] = x[1]-q*y[1];
        z[2] = x[2]-q*y[2];
        z[3] = x[3]-q*y[3];
        x[1] = y[1];
        x[2] = y[2];
        x[3] = y[3];
        y[1] = z[1];
        y[2] = z[2];
        y[3] = z[3]; 
    }
    if(y[3] == 0){
        printf("gcd(a,b) = %d,no inverse\n",x[3]);
        return 0;
    }
    if(y[3] == 1){
        if(y[2] < 0) y[2] += a; 
        printf("gcd(a,b) = %d,inverse = %d\n",y[3],y[2]);
        return 0;
    }
} 
    
int main(){
    int x,y;
    while(scanf("%d%d",&x,&y) != EOF){
        EX_Euclid(x,y);
    }    
    return 0;
}