【并查集】力扣684：冗余连接

树可以看成是一个连通且 无环 的 无向 图。

给定往一棵 n 个节点 (节点值 1～n) 的树中添加一条边后的图。添加的边的两个顶点包含在 1 到 n 中间，且这条附加的边不属于树中已存在的边。图的信息记录于长度为 n 的二维数组 edges ，edges[i] = [$a_i$, $b_i$] 表示图中在 $a_i$ 和 $b_i$ 之间存在一条边。

请找出一条可以删去的边，删除后可使得剩余部分是一个有着 n 个节点的树。如果有多个答案，则返回数组 edges 中最后出现的边。

示例：

输入: edges = [[1,2], [2,3], [3,4], [1,4], [1,5]]
输出: [1,4]

题目意思就是：在无向有环图找出一条边，移除它之后该图能够成为一棵树（即无向无环图）。输入是一个二维数组，表示所有的边（对应的两个结点）；输出是一个一维数组，表示需要移除的边（对应的两个结点）。

算法步骤：

• edges 的每个子集合对应一个结点

• 所有结点的 parent 一开始都是自己parent[i] = i

  • 作为索引的 i 指当前结点

  • 作为值的 i 指当前结点的代表结点，即结点 i 的父结点

• 每次要连接结点 i 和 j 时，将 i 的祖先 的 parant 变为 j 的祖先

• 每次要查询两个结点是否相连时，查找 i 和 j 的祖先是否最终为同一个结点

  • 如果两个结点的祖先不一样，就根据规则相认

  • 如果有共同祖先，已经认祖归宗了，但是现在又要加上一层连接，就多余了，即为答案

要注意的是，刚开始是找以结点为单位找祖先，后面有连接了就是以集合为单位找了。

class Solution:
    def findRedundantConnection(self, edges: List[List[int]]) -> List[int]:
        n = len(edges) # 结点个数，也是有环图 edges 中边的条数，即 树的边+1
        if n < 3:
            return
        parent = list(range(n + 1)) # 用列表存储 n 个结点的父结点，初始化为 0 ~ n-1

        # find 操作查找给定结点的祖先
        def find(i):
            if parent[i] != i:
                parent[i] = find(parent[i]) # 一直向上找到祖先
            return parent[i]

        # union 操作将两个集合连在一起
        def union(i, j):
            parent[find(i)] = find(j) # j 的祖先成为 i 的祖先的祖先

        for node1, node2 in edges:
            if find(node1) != find(node2): # 两个结点的祖先不一样，根据规则相认
                union(node1, node2)
            else: # 有共同祖先，删掉这层连接
                return [node1, node2]

时间复杂度：O(nlogn)，其中 n 是图中的结点个数。需要遍历图中的 n 条边，对于每条边，需要对两个结点查找祖先，如果两个结点的祖先不同则需要进行合并，需要进行 2 次查找和最多 1 次合并。一共需要进行 2n 次查找和最多 n 次合并，因此总时间复杂度是 O(2nlogn)=O(nlogn)。这里的并查集使用了路径压缩，但是没有使用按秩合并，最坏情况下的时间复杂度是 O(nlogn)，平均情况下的时间复杂度依然是 O(nα(n))，其中 α 为阿克曼函数的反函数，α(n) 可以认为是一个很小的常数。

空间复杂度：O(n)，。使用数组 parent 记录每个结点的祖先。