【前缀和与积分图】力扣303：区域和检索 - 数组不可变

一维的前缀和，二维的积分图，都是把每个位置之前的一维线段或二维矩形预先存储，方便加速计算。

• 如果需要对前缀和或积分图的值做寻址，则要存在哈希表里
• 如果要对每个位置记录前缀和或积分图的值，则可以储存到一维或二维数组里，也常常伴随着动态规划

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给定一个整数数组  nums，处理以下类型的多个查询：

计算索引 left 和 right （包含 left 和 right）之间的 nums 元素的 和 ，其中 left <= right
实现 NumArray 类：

NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的 总和 ，包含 left 和 right 两点（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] )

示例：

输入：
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出：
[null, 1, -1, -3]
解释：
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

当需要求「某一段」区域的和的时候，要很自然地想到「前缀和」(preSum)。
前缀和的作用就是为了帮助我们快速求某一段的和，是「差分」的逆运算。
前缀和数组 sum 的每一位记录的是当前位置距离起点位置，这连续一段的和区间和。
因此当我们要求特定的一段 [i,j] 的区域和的时候，可以直接利用前缀和数组快速求解：ans = sum[j] - sum[i - 1]。

需要记录值，所以要新建数组。

最朴素的想法是存储数组 nums 的值，每次调用 sumRange 时，通过循环的方法计算数组 nums 从下标 i 到下标 j 范围内的元素和，需要计算 j−i+1 个元素的和。由于每次检索的时间和检索的下标范围有关，因此检索的时间复杂度较高，如果检索次数较多，则会超出时间限制。
由于会进行多次检索，即多次调用 sumRange，因此为了降低检索的总时间，应该降低 sumRange 的时间复杂度，最理想的情况是时间复杂度 O(1)。为了将检索的时间复杂度降到 O(1)，需要在初始化的时候进行预处理。

$sumRange(i, j)$可以表示为：

$$sumRange(i, j) = \sum_{k=i}^j nums[k] = \sum_{k=0}^j nums[k] - \sum_{k=0}^{i-1} nums[k]$$

因此，要计算 sumRange(i,j)，则需要计算数组 nums 在下标 j 和下标 i-1 的前缀和，然后计算这两个前缀和的差。
如果可以在初始化的时候计算出数组 nums 在每个下标处的前缀和，即可满足每次调用 sumRange 的时间复杂度都是 O(1)。
具体实现方面，假设数组 nums 的长度为 n，创建长度为 n+1 的前缀和数组 sums（为了方便计算 sumRange(i, j)，不需要对 i=0 的情况特殊处理），对于 0≤i<n 都有 sums[i+1]=sums[i]+nums[i]；则当 0<i≤n 时，sums[i] 表示数组 nums 从下标 0 到下标 i−1 的前缀和，即 该元素左边所有元素之和（不包含 i 元素）。则：

$$sumRange(i, j) = sums[j-1] - sums[i]$$

class NumArray:

    def __init__(self, nums: List[int]):
        self.preSum = [0]
        preSum = self.preSum
        for num in nums:
            preSum.append(preSum[-1] + num) # 如果删去第5行，可以直接写为 self.preSum.append(self.preSum[-1] + num)
        '''
        与思路一致的写法
        n = len(nums)
        self.Presum = [0] * (n + 1) # 初始化前缀和数组
        for i in range(n): # i 的取值范围是[0, n]，所以前缀和数组实际编号从 1 开始
            self.preSum[i + 1] = self.preSum[i] + nums[i]
        '''

    def sumRange(self, left: int, right: int) -> int:
        '''
        return self.preSum[right + 1] - self.preSum[left]
        '''
        preSum = self.preSum
        return preSum[right + 1] - preSum[left]

# Your NumArray object will be instantiated and called as such:
# obj = NumArray(nums)
# param_1 = obj.sumRange(left,right)

时间复杂度：初始化 O(n)，每次检索 O(1)，其中 n 是数组 nums 的长度。
初始化需要遍历数组 nums 计算前缀和，时间复杂度是 O(n)。每次检索只需要得到两个下标处的前缀和，然后计算差值，时间复杂度是 O(1)。
空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 nums 的长度。需要创建一个长度为 n+1 的前缀和数组。

一维前缀和模板（参考 @宫水三叶）：

# 预处理前缀和数组
    n = len(nums)
    preSum = [0] * n + 1
    for i in range(n): sum[i + 1] = preSum[i] + nums[i]

# 计算 [i, j] 之和
    ans = preSum[j + 1] - preSum[i]