【位运算】力扣342：4的幂

给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。
整数 n 是 4 的幂次方需满足：存在整数 x 使得 n == 4^x。
提示：$-2^{31} <= n <= 2^{31} - 1$
示例：

输入：n = 16
输出：true

方法1：循环

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        if n < 1: # 负数和0都不是4的幂
            return False
        while n != 1:
            if n % 4 != 0:
                return False
            n //= 4
        return True

方法2：递归
建立在方法1的基础上

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        if n < 1:
            return False
        elif n == 1:
            return True
        elif n % 4 != 0:
            return False
        return self.isPowerOfFour(n//4)

因为4是2的幂，所以可以从二进制角度考虑：
思路1：考虑二进制表示中 1 和 0 的个数
4的幂必须满足：二进制中的 1 只有一个，并且 0 的个数是2的倍数，即：bin(n).count('1') == 1 and bin(n).count('0') % 2 == 1
由于二进制有前缀标识是 0b，所以结果 0 的个数会多一个标识 0，那么 0 的个数必须是奇数。例如：

n = 4
m = bin(n)
print(m, m.count('0'))

>> 0b100 3

那么代码为

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        return bin(n).count('0') % 2 == 1 and bin(n).count('1') == 1 if n > 0 else False

思路2：先考虑 2 的幂
如果 n 是 4 的幂，那么 n 一定也是 2 的幂。因此可以首先判断 n 是否是 2 的幂，在此基础上再判断 n 是否是 4 的幂。
首先考虑一个数字是不是 2 的（整数）次方：如果一个正整数 n 是 2 的整数次方，那么它的二进制一定是 0...010...0（共32位） 这样的形式；考虑到 n − 1 的二进制是 0...001...1，这两个数求【按位与】的结果一定是 0。因此如果 n & (n - 1) 为 0，那么这个数是 2 的次方。
∴ 判断一个数 n 是否是 2 的幂的一种方法是：判断 n > 0 and (n & (n - 1)) == 0 的bool是否为true
方法4：考虑二进制表示中 1 的位置
如果这个数也是 4 的次方，那二进制表示中只有一个1，而且 1 的位置必须在奇数位。

• 可以把 n 和二进制的 0b010101...10（所有偶数为为1，即十六进制下的0xaaaaaaaa）做按位与，如果结果为0，那么说明这个数是4的次方。
• 可以把 n 和二进制的 0b10101...101（所有奇数位为1，即十进制下的 1431655765，十六进制下的 0x55555555）做按位与，如果结果不为 0，那么说明这个数是 4 的次方。

1. 与所有偶数位为1的二进制数按位与

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0 and (n & 0xaaaaaaaa) == 0

2. 与所有奇数位为1的二进制数按位与

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0 and (n & 0x55555555) == n

时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)。

方法2：取模
如果 n 是 4 的幂，那么它可以表示成 4^x 的形式，我们可以发现它除以 3 的余数一定为 1。
如果 n 是 2 的幂却不是 4 的幂，那么它可以表示成 4^x × 2 的形式，此时它除以 3 的余数一定为 2。因此我们可以通过 n 除以 3 的余数是否为 1 来判断 n 是否是 4 的幂。

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0 and n % 3 == 1

时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)。