【动态规划】力扣72：编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

编辑距离算法被数据科学家广泛应用，是用作机器翻译和语音识别评价标准的基本算法。
最直观的方法是暴力检查所有可能的编辑方法，取最短的一个。所有可能的编辑方法达到指数级，但我们不需要进行这么多计算，因为我们只需要找到距离最短的序列而不是所有可能的序列。

1. 定义 dp[i][j]

• dp[i][j] 代表 word1 中前 i 个字符，变换到 word2 中前 j 个字符，最短需要操作的次数；
• 需要考虑 word1 或 word2 一个字母都没有，即全增加/删除的情况，所以预留 dp[0][j] 和 dp[i][0]。

2. 状态转移
   
   

• 增，修改消耗dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
• 删，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
• 改，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
• 如果刚好这两个字母相同 word1[i - 1] = word2[j - 1] ，那么可以直接参考 dp[i - 1][j - 1] ，操作不用加一。
  按顺序计算，当计算 dp[i][j] 时，dp[i - 1][j] ， dp[i][j - 1] ， dp[i - 1][j - 1] 均已经确定了。配合增删改这三种操作，需要对应的 dp 把操作次数加1，取三种的最小。
  

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
        if m * n == 0: # 至少有一个字符串为空串
            return m + n
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 内层为列
        # 边界状态初始化
        for i in range(m + 1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(n + 1):
            dp[0][j] = j
        # 计算
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if word1[i - 1] == word2[j - 1]: # 字符串和dp数组的定位差1
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
        return dp[m][n]

时间复杂度 ：O(mn)，其中 m 为 word1 的长度，n 为 word2 的长度。
空间复杂度 ：O(mn)，需要大小为 O(mn) 的 dp 数组来记录状态值。