【动态规划】力扣1143：最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

1. 状态定义
   比如对于本题而言，可以定义 dp[i][j] 表示 text1[0: i - 1] 和 text2[0: j - 1] 的最长公共子序列。

• text1[0: i-1] 表示的是 text1 的 第 0 个元素到第 i - 1 个元素，两端都包含）
• 之所以 dp[i][j] 的定义不是 text1[0: i] 和 text2[0: j] ，是为了方便当 i = 0 或者 j = 0 的时候，dp[i][j]表示的为空字符串和另外一个字符串的匹配，这样 dp[i][j] 可以初始化为 0。

2. 状态转移方程

• 当 text1[i - 1] == text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位相等，所以最长公共子序列又增加了 1，所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1；举个例子，比如对于 ac 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 a 和 b 的最长公共子序列长度 0 + 1 = 1。
• 当 text1[i - 1] != text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位不相等，那么此时的状态 dp[i][j] 应该是 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1] 的最大值。举个例子，比如对于 ace 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 ① ace 和 b 的最长公共子序列长度0 与 ② ac 和 bc 的最长公共子序列长度1 的最大值，即 1。
  综上，状态转移方程为：
  dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1, 当 text1[i - 1] == text2[j - 1];
  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), 当 text1[i - 1] != text2[j - 1]。

3. 状态的初始化
   初始化就是要看当 i = 0 与 j = 0 时， dp[i][j] 应该取值为多少。
   当 i = 0 时，dp[0][j] 表示的是 text1 中取空字符串 跟 text2 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
   当 j = 0 时，dp[i][0] 表示的是 text2 中取空字符串 跟 text1 的最长公共子序列，结果肯定为 0.
   综上，当 i = 0 或者 j = 0 时，dp[i][j] 初始化为 0.
4. 遍历方向与范围
   由于 dp[i][j] 依赖与 dp[i - 1][j - 1] , dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]，所以 i 和 j 的遍历顺序肯定是从小到大的。
   另外，由于当 i 和 j 取值为 0 的时候，dp[i][j] = 0，而 dp 数组本身初始化就是为 0，所以，直接让 i 和 j 从 1 开始遍历。遍历的结束应该是字符串的长度为 len(text1) 和 len(text2)。
5. 最终返回结果
   由于 dp[i][j] 的含义是 text1[0: i-1] 和 text2[0: j-1] 的最长公共子序列。我们最终希望求的是 text1 和 text2 的最长公共子序列。所以需要返回的结果是 i = len(text1) 并且 j = len(text2) 时的 dp[len(text1)][len(text2)]。

作者：fuxuemingzhu
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/solution/fu-xue-ming-zhu-er-wei-dong-tai-gui-hua-r5ez6/。

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        if not text1 or not text2:
            return 0
        m, n = len(text1),len(text2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        return dp[m][n]

时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 text1 和 text2的长度。二维数组 dp 有 m+1 行和 n+1 列，需要对 dp 中的每个元素进行计算。
空间复杂度：O(mn)。创建了 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp。