使用递归高斯滤波器实现快速高斯模糊

高斯窗常用于对图像进行模糊或低通滤噪，但是随着高斯半径的增加，时间消耗会逐级增加

如高斯半径为N时，计算每个输出采样点需要计算的乘法次数为（2N+1）*模糊方向数，加法次数为2N*模糊方向数，这种情况下，当N=100时，甚至更大时，计算量是非常大的，即使进行SIMD指令集优化，在很多情况下仍然不能满足要求，比如N=100时，优化后的汇编代码的执行时间也通常在几百毫秒以上，远不能达到实时处理要求

上述的方法是使用高斯窗口对准的原理进行实现的，属于FIR型滤波，因为对于半径大于N的像素点，其权重取为0，即对当前点无贡献，然而在实际中我们知道，即使在3倍标准差外的像素也应该对中心点有贡献的，虽然很小

 

基于高斯滤波器的普通应用，对它的性能优化便变得很急迫，因而IIR型的高斯滤波器被研究了出来，以及被用于对边缘检测进行低能处理的IIR的高斯微分滤波器也同时被研究了出来，即前一个输出采样点对后一个输出采样点有贡献，公式如下

第一遍，从左到右，或从上到下

w(n) = a0*x(n) + a1*x(n-1) - b1*w(n-1) - b2*w(n-2)

第二遍，从右到右，或从下到上

y(n) = a2*x(n) + a3*x(n+1) - b1*y(n+1) - b2*y(n+2)

其中，a0，a1，a2，a3，b1，b2为滤波系数

最后将两遍的输出相加之各便是最终结果

 

从上述两个公式可以看出，每个输出采样点的计算与高斯半径是没有关系的，而6个滤波系数是高斯半径的函数，只被计算一次，这样，对高斯半径为50、100、300等的处理，每个输出采样点的计算量是相同的，都是乘法次数为8*模糊方向数，加法次数为7*模糊方向数，计算量大幅下降，在很多时候的图像处理能满足性能需求，并且质量不会下降，甚至CPU也能达到实时处理要求

 

上述的方法通常称为并行，这是因为两遍是分开计算的，最后将两遍结果相加。

另一种方向称为串行，即是将第一遍的w(n)作为第二遍的输入

 

参考文献：

（1）IIR Gaussian Blur Filter Implementation using Intel® Advanced Vector Extensions

（2）Recursively implementing the Gaussian and its derivatives

（3）Recursive Gaussian derivative Filters

（4）Recursive Gaussian Filters

（5）Recursivity and PDE’s in Image Processing

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