树的重心与相关性质

树的重心与相关性质

重心的定义：当一个点是整颗树的重心时，以它为根的所有的子树尺寸都不超过整颗树一半。

寻找重心，一般是找最大子树尺寸最小的点。这个可以通过简单dfs得到。具体见下面的代码。

重心的相关性质：

1、所有点到这个点的距离和是最小的(默认边权为1)。

例题

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define PB push_back

using namespace std;

const int N = 50005;

vector<int> G[N];

int f[N], sz[N];

int n, m;

void dfs(int u, int fa){
    sz[u]=1;
    for(auto v:G[u]){
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
        f[u]=max(f[u],sz[v]);
    }
    f[u]=max(f[u],n-sz[u]);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].PB(v);G[v].PB(u);
    }

    dfs(1,0);

    int mn=*min_element(f+1,f+1+n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(mn==f[i]){
            printf("%d ",i);
        }
    }

    return 0;
}

2、如果有多个重心，那么所有点到这些点的距离都是一样的。

3、两颗树连接起来形成新树，那么重心在两颗树重心的路径上。

4、把一颗树删除或者添加一个节点，那重心最多偏移距离1。

还有其他的一些拓展操作，比如用LCT动态维护树的重心等等。留坑。