CF Educational Round #78 F

题目要求：

\sum_{x = 0}^{n} (\binom{n}{x}) x^{k} P^{x} (1 - P)^{n - x}

$\sum_{x=0}^n\tbinom{n}{x}x^kP^x(1-P)^{n-x}$

其中 $p=\frac{1}{m}$ ，这就要利用第二类斯特林数来推式子了。将 $x^k$ 替换掉，具体方法可以看上一篇博客传送门。

大力推一波式子：

\sum_{x = 0}^{n} (\binom{n}{x}) x^{k} P^{x} (1 - P)^{n - x}

$\sum_{x=0}^n\tbinom{n}{x}x^kP^x(1-P)^{n-x}$

\sum_{x = 0}^{n} (\binom{n}{x}) P^{x} (1 - P)^{n - x} \sum_{i = 0}^{k} i! S (k, i) (x, i)

$\sum_{x=0}^n\tbinom{n}{x}P^x(1-P)^{n-x}\sum_{i=0}^ki!S(k,i)(x,i)$

\sum_{i = 0}^{k} S (k, i) i! \sum_{x = i}^{n} (\binom{n}{x}) (\binom{x}{i}) P^{x} (1 - P)^{n - x}

$\sum_{i=0}^kS(k,i)i!\sum_{x=i}^n\tbinom{n}{x}\tbinom{x}{i}P^x(1-P)^{n-x}$

在组合数中有一个很重要的结论：

(\binom{n}{i}) (\binom{i}{j}) = (\binom{n}{j}) (\binom{n - j}{i - j})

$\tbinom{n}{i}\tbinom{i}{j}=\tbinom{n}{j}\tbinom{n-j}{i-j}$

证明就是把组合数化成阶乘凑配一下。

接着往下推：

\sum_{i = 0}^{k} S (k, i) i! \sum_{x = i}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n - i}{x - i}) P^{x} (1 - P)^{n - x}

$\sum_{i=0}^kS(k,i)i!\sum_{x=i}^n\tbinom{n}{i}\tbinom{n-i}{x-i}P^x(1-P)^{n-x}$

\sum_{i = 0}^{k} S (k, i) \frac{n!}{(n - i)!} P^{i} \sum_{x = i}^{n} (\binom{n - i}{n - x}) P^{x - i} (1 - P)^{n - x}

$\sum_{i=0}^kS(k,i)\frac{n!}{(n-i)!}P^i\sum_{x=i}^n\tbinom{n-i}{n-x}P^{x-i}(1-P)^{n-x}$

注意到:

\sum_{x = i}^{n} (\binom{n - i}{n - x}) P^{x - i} (1 - P)^{n - x} = 1^{n - i}

$\sum_{x=i}^n\tbinom{n-i}{n-x}P^{x-i}(1-P)^{n-x}=1^{n-i}$

所以最后的结果是：

\sum_{i = 0}^{k} S (k, i) \frac{n!}{(n - i)!} P^{i}

$\sum_{i=0}^kS(k,i)\frac{n!}{(n-i)!}P^i$

最后就 $O(k^2)$ 预处理出第二类斯特林数。

#include<bits/stdc++.h>

#define all(x) x.begin(),x.end()
#define fi first
#define sd second
#define lson (nd<<1)
#define rson (nd+nd+1)
#define PB push_back
#define mid (l+r>>1)
#define MP make_pair
#define SZ(x) (int)x.size()

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef vector<int> VI;

typedef pair<int,int> PII;

inline int read(){
    int res=0, f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'|ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return res*f;
}

const int MAXN = 5'005;

const int MOD = 998244353;

void addmod(int& a, int b){a+=b;if(a>=MOD)a-=MOD;}
int mulmod(int a, int b){return 1ll*a*b%MOD;}

template<typename T>
void chmin(T& a, T b){if(a>b)a=b;}

template<typename T>
void chmax(T& a, T b){if(b>a)a=b;}

int powmod(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1)
            res=1ll*res*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;
        y>>=1;
    }

    return res;
}

int S[MAXN][MAXN];
int fac[MAXN],inv[MAXN];

void init(){
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=5000;++i){
        for(int j=1;j<=i;++j){
            S[i][j]=(1ll*S[i-1][j-1]+1ll*j*S[i-1][j])%MOD;
        }
    }

    fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=5000;++i)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%MOD;
    for(int i=2;i<=5000;++i)inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    for(int i=2;i<=5000;++i)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%MOD;
}

int x_(int x, int y){
    int res=1;
    for(int i=0;i<y;++i)res=1ll*res*(x-i)%MOD;

    return res;
}

int main(){
    init();
    int n=read(),m=read(),k=read();

    int P=powmod(m,MOD-2);

    int res=0;
    for(int i=0;i<=k;++i){
        res+=1ll*S[k][i]*x_(n,i)%MOD*powmod(P,i)%MOD;
        res%=MOD;
    }

    if(res<0)res+=MOD;
    cout<<res;

    return 0;
}