条件随机场（CRF）的理解

Motivation

学习CRF的过程中，我发现很多资料，教程上来就给一堆公式，并不知道这些公式是怎么来的。 所以我想以面向问题的形式，分享一下自己对CRF用于序列标注问题的理解

问题定义

给定观测序列\(X=(X_1,X_2,X_3,...X_n)\)，

应该注意以下几点：

• 输入\(X=(X_1,X_2,X_3,...X_n)\)是观测序列，是先验条件
• 输出\(Y=(Y_1,Y_2,Y_3,...Y_n)\)是标注序列，也称为状态序列, 与观测序列具有相同的结构

我们举个例子：

设有一标注问题：输入观测序列为\(X=(X_1,X_2,X_3,X_3)=(Dog caught the cat)\)，输出标记序列为\(Y=(Y_1,Y_2,Y_3,Y_3)\)，\(Y_1,Y_2,Y_3,Y_3\)取值于\(\gamma=\{verb, article, noun\}\)

我们可以得到以下模型图：

当模型输入句子 ”Dog caught the cat“ 时，我们希望模型能够输出标注序列：“n v a n”的概率最大

那么如何根据这个状态图计算出序列”n v a n“的出现的概率呢？

这里就引出了概率无向图模型：（注：个人认为条件随机场模型是一个概率无向图模型，而线性链条件随机场是一个有向图模型）

条件随机场

这里我们对于上图中的图模型，我们定义两种特征： 状态特征和转移特征

• 状态特征： 定义在结点上，表示这个结点是否拥有某个属性
• 转移特征： 定义在边上，表示两个状态是否会因为某个特征而转移

对于上面的问题中，我们可以直觉性地定义一些特征，例如：状态特征可以是\(\{脊椎动物，哺乳动物，爬行动物，地点, 时间，动作\}\)，转移特征可以理解有\(\{动物后面接动词jump，人后面接动词love，名词后面接代词，动词后面接代词，形容词后面接名词\}\)，这些就是我们对于一些直观特征，当然还有很多隐藏特征我们无法用语言来解释，也没有必要解释。

因此我们用数学语言来表达这些特征：
假设我们定义了\(K_1\) 个转移特征 $ {t_1,t_2,...,t_{K_1}} $ ，定义了\(K_2\)个状态特征 \(\{s_1,s_2,...,s_{K_2}\}\) ，当一个结点拥有状态特征\(s_j\)时，\(s_j=1\)，否则，\(s_j=0\)
例如：dog 拥有状态特征：{脊椎动物，哺乳动物}

\[s_l=s_j(y_i,x,i) \in \{0,1\} \quad l=1,2,..K_1,i=1,2,...n \]

一个结点\(y_i\)的状态特征只与这个结点和观测序列有关，其他结点无关，同理，转移特征可以表示如下：

\[t_k=t_k(y_{i-1},y_i,x,i) \in \{0,1\} \quad k=1,2,..K_2,i=2,3,...n \]

当然，这些特征所起到的重要性应该是有差异的，例如单词：train，它作为动词时有“训练，瞄准”的意思。 当我们一篇关于机器学习的论文（观测序列\(x\)）中观测到了单词train时

\[s_1=s_1(y_i=verb,x=论文 ,i=index(train) ) \rightarrow 训练 \\ s_2=s_2(y_i=verb,x=论文 ,i=index(train) ) \rightarrow 瞄准 \]

在train被模型标注为verb的过程中，特征\(s_1\)比\(s_2\)应该起到更高的重要性，理应拥有更大的权重，同理对于每个转移特征，利用也有对应的权重，
这里，我们定义转移特征的权值为\(\lambda_k\)，状态特征的权值为\(\mu_l\)，则当我们得到观测序列\(X=(x_1,x_2,...x_n)\)，状态序列为\(Y=(y_1,y_2,...y_n)\)时的所有结点的的特征之和为

\[\sum_{i,k}\lambda_k t_k(y_{i-1},y_i,x,i)+ \sum_{i,l} \mu_l s_l(y_i,x,i) \]

由此，我们用这个特征和来计算：

当观测序列\(X=(x_1,x_2,...x_n)\)，状态序列为\(Y=(y_1,y_2,...y_n)\)的概率

首先概率值不能是负的，所以我们将这个特征和变换为正值，还必须保证各个状态序列特征和大小关系不变，所以我们使用指数函数exp进行变换得到，再把这个结果规范化后就得到了概率函数了,也是线性链条件随机场的参数化形式定义（《统计学习方法》定理11.2）

设 \(P(Y|X)\)为线性链条件随机场， 则在随机变量 取值为x的条件下， 随机变量Y的取值为 y的条件概率具有如下形式：

\[P(Y|X)= \frac{1}{Z(x)} exp(\sum_{i,k}\lambda_k t_k(y_{i-1},y_i,x,i)+ \sum_{i,l} \mu_l s_l(y_i,x,i)) \]

其中

\[Z(x) = \sum_Y exp(\sum_{i,k}\lambda_k t_k(y_{i-1},y_i,x,i)+ \sum_{i,l} \mu_l s_l(y_i,x,i)) \]

\(t_k\)和\(s_l\)是特征函数，\(\lambda_k\)和\(\mu_l\)是对应的权值， 是规范化因子，\(Z(x)\)求和是在所有可能的输出序列上进行的

Reference

《统计学习方法》 李航