动态规划

概念

　　动态规划也是一种分治思想，但是与分治法不同，动态规划把原问题分解为若干子问题，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，最终得到原问题的解。

能利用动态规划解决的问题有2个特性

1.最优子结构

　　问题的最优解包含其子问题的最优解

2.子问题重叠

　　大的子问题求解时需要用到小的子问题的解，所以每次求得子问题的解时，把它们放在表格里，以后使用时可以直接查询

使用动态规划的步骤

1.分析最优解的结构特征

2.建立最优值的递归式（最为关键）

3.自底向上计算最优值，并记录到表格里

4.得出最优解

例子1——0-1背包问题

问题描述：

　　背包载重为load，山洞中有n个宝贝，每个宝贝的重量为w_i，价值为v_i，每个宝贝要么装入要么不装入，盗贼能盗取的最大价值是多少？

确定数据结构：

　　weight[i]：第i个物品的重量

　　value[i]：第i个物品的价值

　　dp[i][j]：前i件物品放入总载重为j的购物车可获得的最大价值

　　choose[i]：是否选择了第i件物品

递归式：

　　dp[i][j]=　　dp[i-1][j]　　　　　　　　　　　　　　　　  , j<weight[i]

　　　　　　　 max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])　　, j>=weight[i]

我们一件物品一件物品得选择放与不放，如果背包的总载重小于第i件物品的重量，我们就只能依靠前一个子问题的值；如果大于，我们就可以选择前一个子问题的值和加上了第i件物品的价值的值中的较大值。可能疑惑的是：为什么拿背包的总载重去和当前这个物品的重量去比，难道不用考虑之前已经装入背包的物品的重量吗？其实这个值dp[i-1][j-weight[i]]是有可能是0的。j和weight[i]去比，你可以理解为是防止这个数组的访问不越界。

自底向上计算：

　　初值dp[0][j]和dp[i][0]从所代表的意义上可以得出，其值均为0。

得出最优解：

　　n个物品，背包总载重为m，最大价值就为dp[n][m]；

　　确定选择了哪些物品：比较dp[n][m]和dp[n-1][m]的大小，如果相等，则代表没有选择第n个物品，choose[n]置为false，否则，置为true；如果选择了选择第n个物品，则跳到dp[n-1][m-weight[n]]（如果没有选择，则跳到dp[n-1][m]），再进行相同的操作，直至每个物品都检查完。

代码实现：

int zeroOneBag(vector<int>& weight, vector<int>& value, int load, vector<bool>& choose)
{
    int n = weight.size() - 1;//物品的数量n，重量数组和价值数组的第0个元素均为0
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(load+1));
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        dp[i][0] = 0;
    for (int j = 0; j <= load; ++j)
        dp[0][j] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= load; ++j)
        {
            if (j < weight[i])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }

    }
    /*
    for (int i = 0; i <= n; ++i)//展示dp数组
    {
        for (int j = 0; j <= load; ++j)
        {
            cout << dp[i][j] << '\t';
        }
        cout << endl;
    }
    */
    for (int i = n, j = load; i >= 1; --i)
    {
        if (dp[i][j] > dp[i - 1][j])
        {
            choose[i] = true;
            j -= weight[i];
        }
        else
            choose[i] = false;
    }
    /*
    for (int i = 1; i <= n; ++i)//展示选择了哪些物品
        cout << choose[i] << '\t';
    cout << endl;
    */
    return dp[n][load];
}

测试例：

int main()
{
    vector<int> weight{ 0,2,5,4,2,3 }, value{ 0,6,3,5,4,6 };
    vector<bool> choose(6);
    int load=10;    
    int maxiValue=zeroOneBag(weight, value, load, choose);
    cout << "0-1背包所能装的最大价值为："<<maxiValue << endl;

    return 0;
}