[BZOJ 3129] [Sdoi2013] 方程 【容斥+组合数取模+中国剩余定理】

题目链接:BZOJ - 3129

 

题目分析

使用隔板法的思想,如果没有任何限制条件,那么方案数就是 C(m - 1, n - 1)。

如果有一个限制条件是 xi >= Ai ,那么我们就可以将 m 减去 Ai - 1 ,相当于将这一部分固定分给 xi,就转化为无限制的情况了。

如果有一些限制条件是 xi <= Ai 呢?直接来求就不行了,但是注意到这样的限制不超过 8 个,我们可以使用容斥原理来求。

考虑容斥:考虑哪些限制条件被违反了,也就是说,有哪些限制为 xi <= Ai 却是 xi > Ai,这样就转化为了 xi >= Ai 的限制条件。

那么我们就可以在 2^8 * T(求组合数) 的时间内求出答案了。

怎么求这个组合数呢?直接预处理阶乘的逆元是不可以的,因为模数不都是质数。

我们要将模数拆成一个个 pi^ai 这样的形式,使得它们两两之间互质,就可以分别求出答案,最后再用中国剩余定理组合起来。

中国剩余定理:如果有n个方程 x = xi (mod mi) ,M = m1 * m2 * .. * mn ,那么在 mod M 的意义下,方程组有一个唯一解。

x = sigma(Mi * Inv(Mi) * xi) % M ,其中 Mi = M / mi ,Inv(Mi)是Mi在mod mi意义下的逆元。

那么我们的问题就是,如何求出 C(n, m) % (p^a) 。

这里就需要用到“组合数取模”了,专门用来求解这种问题。

使用类似于快速阶乘的方法,将组合数中分数线上下的阶乘都拆成 e * p^f 的形式,然后 e 直接计算,f 分数线上下相减之后再计算。

怎么将 x! 拆成 e * p^f 呢?

假设我们要 mod 的数是 p^a ,那么我们需要预处理出 [1, p^a - 1] 中除去 p 的倍数的其余数的前缀积(类似阶乘少了 p 的倍数)。

然后我们知道 [1, x] 中包含 p 的数有 x / p 个,我们将这些数中都提取出 1 个 p,那么就获得了 p^(x/p),然后这 x / p 个数就变成了 [1, x/p],就可以递归下去。

其余的部分可以分段来求,分成 [1, p^a - 1], [p^a + 1, p^a + p^a - 1] ..... 这样,每一段的积都是一样的 (mod p^a 意义下),直接快速幂就可以了。

最后还会剩下一段 [1, x % (p^a)] ,也是直接预处理出的值。

这样这道题就做完了(呼~)。

 

另外注意的是,在写代码的时候,我求逆元使用欧拉定理但是确用错了。

欧拉定理:a^phi(b) = 1 (mod b) 条件:gcd(a, b) = 1

注意是 a^phi(b) 而不是 a^(b-1) !当 b 不是质数的时候就跪了!  

 

代码

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef double LF;
 
const int MaxP = 10201 + 15, MaxN1 = 8 + 5;
 
int T, p, n, n1, n2, m, Top, Ans;
int A[MaxN1];
 
LL Temp;
LL Fac[10][MaxP], Pr[10], Pi[10], Pa[10], Phi_Pi[10], Mi[10], Inv_Mi[10], Xi[10];
 
LL Pow(LL a, LL b, LL Mod)
{
    LL ret, f;
    ret = 1; f = a;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ret *= f;
            ret %= Mod;
        }
        b >>= 1;
        f *= f;
        f %= Mod;
    }
    return ret;
}
 
void Prepare()
{
    int x, SqrtX;
    x = p; SqrtX = (int)sqrt((LF)x);
    Top = 0;
    for (int i = 2; i <= SqrtX; ++i)
    {
        if (x % i != 0) continue;
        Pr[++Top] = i;
        Pa[Top] = 0;
        Pi[Top] = 1;
        while (x % i == 0)
        {
            ++Pa[Top];
            Pi[Top] *= i;
            x /= i;
        }
        Phi_Pi[Top] = Pi[Top] / Pr[Top] * (Pr[Top] - 1);
    }
    if (x > 1)
    {
        Pr[++Top] = x;
        Pa[Top] = 1;
        Pi[Top] = x;
        Phi_Pi[Top] = Pi[Top] - 1;
    }
    for (int i = 1; i <= Top; ++i)
    {
        Mi[i] = p / Pi[i];
        Inv_Mi[i] = Pow(Mi[i], Phi_Pi[i] - 1, Pi[i]);
        Fac[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < Pi[i]; ++j)
        {
            if (j % Pr[i] != 0) Fac[i][j] = Fac[i][j - 1] * j % Pi[i];
            else Fac[i][j] = Fac[i][j - 1];
        }
    }
}
 
struct ES
{
    LL e, f;
};
 
ES Calc(int x, int k)
{
    ES ret, tc;
    if (x < Pr[k])
    {
        ret.e = Fac[k][x];
        ret.f = 0;
        return ret;
    }
    ret.f = x / Pr[k];
    tc = Calc(x / Pr[k], k);
    ret.f += tc.f;
    ret.e = tc.e * Fac[k][x % Pi[k]] % Pi[k];
    ret.e = ret.e * Pow(Fac[k][Pi[k] - 1], x / Pi[k], Pi[k]) % Pi[k];
    return ret;
}
 
LL C(int x, int y, int k)
{
    LL ret;
    int pf;
    ES Ex, Ey, Exy;
    Ex = Calc(x, k);
    Ey = Calc(y, k);
    Exy = Calc(x - y, k);
    ret = Ex.e * Pow(Ey.e, Phi_Pi[k] - 1, Pi[k]) % Pi[k] * Pow(Exy.e, Phi_Pi[k] - 1, Pi[k]) % Pi[k];
    pf = Ex.f - Ey.f - Exy.f;
    if (pf >= Pa[k]) ret = 0;
    else ret = ret * Pow(Pr[k], pf, Pi[k]) % Pi[k];
    return ret;        
}
 
int C(int x, int y)
{
    if (x == y) return 1;
    if (x < y) return 0;
    if (y == 0) return 1;
    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= Top; ++i) Xi[i] = C(x, y, i);
    for (int i = 1; i <= Top; ++i)
    {
        ret += Xi[i] * Mi[i] % p * Inv_Mi[i] % p;
        ret %= p;
    }
    return (int)ret;
}
 
void DFS(int x, int Cnt, int Sum)
{
    if (x == n1)
    {
        if (Cnt & 1) Temp -= C(m - Sum - 1, n - 1);
        else Temp += C(m - Sum - 1, n - 1);
        Temp = (Temp % p + p) % p;
        return;
    }
    DFS(x + 1, Cnt, Sum);
    DFS(x + 1, Cnt + 1, Sum + A[x + 1]);
}
 
int Solve()
{
    Temp = 0;
    DFS(1, 0, 0);
    DFS(1, 1, A[1]);   
    return (int)Temp;  
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &T, &p);
    Prepare();
    for (int Case = 1; Case <= T; ++Case)
    {
        scanf("%d%d%d%d", &n, &n1, &n2, &m);
        for (int i = 1; i <= n1; ++i) scanf("%d", &A[i]);
        int Num;
        for (int i = 1; i <= n2; ++i)
        {
            scanf("%d", &Num);
            m -= Num - 1;
        }
        if (n1 > 0) Ans = Solve();
        else Ans = C(m - 1, n - 1);
        printf("%d\n", Ans);
    }
    return 0;
}

  

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