[BZOJ 3129] [Sdoi2013] 方程 【容斥+组合数取模+中国剩余定理】
题目链接:BZOJ - 3129
题目分析
使用隔板法的思想,如果没有任何限制条件,那么方案数就是 C(m - 1, n - 1)。
如果有一个限制条件是 xi >= Ai ,那么我们就可以将 m 减去 Ai - 1 ,相当于将这一部分固定分给 xi,就转化为无限制的情况了。
如果有一些限制条件是 xi <= Ai 呢?直接来求就不行了,但是注意到这样的限制不超过 8 个,我们可以使用容斥原理来求。
考虑容斥:考虑哪些限制条件被违反了,也就是说,有哪些限制为 xi <= Ai 却是 xi > Ai,这样就转化为了 xi >= Ai 的限制条件。
那么我们就可以在 2^8 * T(求组合数) 的时间内求出答案了。
怎么求这个组合数呢?直接预处理阶乘的逆元是不可以的,因为模数不都是质数。
我们要将模数拆成一个个 pi^ai 这样的形式,使得它们两两之间互质,就可以分别求出答案,最后再用中国剩余定理组合起来。
中国剩余定理:如果有n个方程 x = xi (mod mi) ,M = m1 * m2 * .. * mn ,那么在 mod M 的意义下,方程组有一个唯一解。
x = sigma(Mi * Inv(Mi) * xi) % M ,其中 Mi = M / mi ,Inv(Mi)是Mi在mod mi意义下的逆元。
那么我们的问题就是,如何求出 C(n, m) % (p^a) 。
这里就需要用到“组合数取模”了,专门用来求解这种问题。
使用类似于快速阶乘的方法,将组合数中分数线上下的阶乘都拆成 e * p^f 的形式,然后 e 直接计算,f 分数线上下相减之后再计算。
怎么将 x! 拆成 e * p^f 呢?
假设我们要 mod 的数是 p^a ,那么我们需要预处理出 [1, p^a - 1] 中除去 p 的倍数的其余数的前缀积(类似阶乘少了 p 的倍数)。
然后我们知道 [1, x] 中包含 p 的数有 x / p 个,我们将这些数中都提取出 1 个 p,那么就获得了 p^(x/p),然后这 x / p 个数就变成了 [1, x/p],就可以递归下去。
其余的部分可以分段来求,分成 [1, p^a - 1], [p^a + 1, p^a + p^a - 1] ..... 这样,每一段的积都是一样的 (mod p^a 意义下),直接快速幂就可以了。
最后还会剩下一段 [1, x % (p^a)] ,也是直接预处理出的值。
这样这道题就做完了(呼~)。
另外注意的是,在写代码的时候,我求逆元使用欧拉定理但是确用错了。
欧拉定理:a^phi(b) = 1 (mod b) 条件:gcd(a, b) = 1
注意是 a^phi(b) 而不是 a^(b-1) !当 b 不是质数的时候就跪了!
代码
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 | #include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long LL; typedef double LF; const int MaxP = 10201 + 15, MaxN1 = 8 + 5; int T, p, n, n1, n2, m, Top, Ans; int A[MaxN1]; LL Temp; LL Fac[10][MaxP], Pr[10], Pi[10], Pa[10], Phi_Pi[10], Mi[10], Inv_Mi[10], Xi[10]; LL Pow(LL a, LL b, LL Mod) { LL ret, f; ret = 1; f = a; while (b) { if (b & 1) { ret *= f; ret %= Mod; } b >>= 1; f *= f; f %= Mod; } return ret; } void Prepare() { int x, SqrtX; x = p; SqrtX = ( int ) sqrt ((LF)x); Top = 0; for ( int i = 2; i <= SqrtX; ++i) { if (x % i != 0) continue ; Pr[++Top] = i; Pa[Top] = 0; Pi[Top] = 1; while (x % i == 0) { ++Pa[Top]; Pi[Top] *= i; x /= i; } Phi_Pi[Top] = Pi[Top] / Pr[Top] * (Pr[Top] - 1); } if (x > 1) { Pr[++Top] = x; Pa[Top] = 1; Pi[Top] = x; Phi_Pi[Top] = Pi[Top] - 1; } for ( int i = 1; i <= Top; ++i) { Mi[i] = p / Pi[i]; Inv_Mi[i] = Pow(Mi[i], Phi_Pi[i] - 1, Pi[i]); Fac[i][0] = 1; for ( int j = 1; j < Pi[i]; ++j) { if (j % Pr[i] != 0) Fac[i][j] = Fac[i][j - 1] * j % Pi[i]; else Fac[i][j] = Fac[i][j - 1]; } } } struct ES { LL e, f; }; ES Calc( int x, int k) { ES ret, tc; if (x < Pr[k]) { ret.e = Fac[k][x]; ret.f = 0; return ret; } ret.f = x / Pr[k]; tc = Calc(x / Pr[k], k); ret.f += tc.f; ret.e = tc.e * Fac[k][x % Pi[k]] % Pi[k]; ret.e = ret.e * Pow(Fac[k][Pi[k] - 1], x / Pi[k], Pi[k]) % Pi[k]; return ret; } LL C( int x, int y, int k) { LL ret; int pf; ES Ex, Ey, Exy; Ex = Calc(x, k); Ey = Calc(y, k); Exy = Calc(x - y, k); ret = Ex.e * Pow(Ey.e, Phi_Pi[k] - 1, Pi[k]) % Pi[k] * Pow(Exy.e, Phi_Pi[k] - 1, Pi[k]) % Pi[k]; pf = Ex.f - Ey.f - Exy.f; if (pf >= Pa[k]) ret = 0; else ret = ret * Pow(Pr[k], pf, Pi[k]) % Pi[k]; return ret; } int C( int x, int y) { if (x == y) return 1; if (x < y) return 0; if (y == 0) return 1; LL ret = 0; for ( int i = 1; i <= Top; ++i) Xi[i] = C(x, y, i); for ( int i = 1; i <= Top; ++i) { ret += Xi[i] * Mi[i] % p * Inv_Mi[i] % p; ret %= p; } return ( int )ret; } void DFS( int x, int Cnt, int Sum) { if (x == n1) { if (Cnt & 1) Temp -= C(m - Sum - 1, n - 1); else Temp += C(m - Sum - 1, n - 1); Temp = (Temp % p + p) % p; return ; } DFS(x + 1, Cnt, Sum); DFS(x + 1, Cnt + 1, Sum + A[x + 1]); } int Solve() { Temp = 0; DFS(1, 0, 0); DFS(1, 1, A[1]); return ( int )Temp; } int main() { scanf ( "%d%d" , &T, &p); Prepare(); for ( int Case = 1; Case <= T; ++Case) { scanf ( "%d%d%d%d" , &n, &n1, &n2, &m); for ( int i = 1; i <= n1; ++i) scanf ( "%d" , &A[i]); int Num; for ( int i = 1; i <= n2; ++i) { scanf ( "%d" , &Num); m -= Num - 1; } if (n1 > 0) Ans = Solve(); else Ans = C(m - 1, n - 1); printf ( "%d\n" , Ans); } return 0; } |
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