Gray码 (格雷码) 【二进制】

以下内容是看了Matrix67的关于二进制的blog(Link)的一点总结与摘录。

 

Gray码，中文“格雷码”，是一种特殊的编码，相邻两个格雷码的二进制表示中有且仅有一位不同，且 n 阶 Gray 码是 0~2^n-1 的一个排列。

n 阶 Gray  码可以由 n-1 阶 Gray 码镜像翻转之后最前面加一个 '1' 得到。

比如 2 阶 Gray 码为：

00

01

11

10

 

3 阶：

000

001

011

010

110

111

101

100

 

这样就巧妙的实现了相邻的数只有一个二进制位不同。

 

Gray 与 Hanoi 塔问题有着密切联系，第 i 个 n 阶格雷码改变的是第 x 位，相应的 n 个圆盘的 Hanoi 塔在这第 i 步就移动编号为 x 的盘子。

这样，只要能计算出第 i 个 n 阶格雷码是什么，就能知道第 i 步的 n 阶 Hanoi 的移动步骤是什么。

 

求出第 i 个 Gray 码非常简单 ： Gray(i) = i xor (i shr 1)           [C++] Gray[i] = i ^ (i >> 1);

这个证明可以看 Matrix67 的blog。

 

有关 Gray码的题目一道：Link

题目大意：给定 n 与 m，要求输出一个 2^n 行， 2^m 列的矩阵，里面填 0~2^(n+m)-1 的所有数字，每个数字与它相邻的数字的二进制表示都有且仅有一位不同。 

题目分析：这道题是求一个“二维”的格雷码，然而我们有一个简便的构造方法，就是每个数字的前 n 位是 n 阶格雷码，后 m 位是 m 阶格雷码。

行与行之间的前 n 位不同，列与列之间的后 m 位不同，这样，由“一维”格雷码就轻松构造出“二维”格雷码了~

代码如下：

　

#include <cstdio>

using namespace std;

int main() 
{
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	int R, C, Num;
	R = 1 << n; C = 1 << m;
	for (int i = 0; i < R; ++i) {
		Num = (i ^ (i >> 1)) << m;
		for (int j = 0; j < C; ++j) 
			printf("%d ", Num | (j ^ (j >> 1)));
		printf("\n");
	}
	return 0;
}