[BZOJ 2165] 大楼 【DP + 倍增 + 二进制】

题目链接：BZOJ - 2165

 

题目分析：

　　这道题我读了题之后就想不出来怎么做，题解也找不到，于是就请教了黄学长，黄学长立刻秒掉了这道题，然后我再看他的题解才写出来。。Orz

　　使用 DP + 倍增 ，用状态 f[x][i][j] 表示从 i 出发，坐 x 次电梯到达 j ，最多能上升的层数。开始读入的就是 f[1][][] 数组。（注意：若开始时 i 不能走到 j ， 则 f[1][i][j] = -INF）

　　使用倍增，用 f[x][][] 求出 f[x << 1][][] ， 一直求f[2^p][][], 直到出现求出的 f[][][] 数组第一行存在大于等于 m 的数值。

　　用 f[a][][] 和 f[b][][] 求出 f[a+b][][] 的状态转移方程是类似 Floyd 的 : f[a+b][i][j] = max(f[a][i][k] + f[b][k][j]) 

　　之后枚举每一个二进制位，拼凑答案。如果加入这个二进制位后仍不能达到 m ，就加入这一位。最后答案要加1。（类似倍增求LCA）

 　 写代码过程中出现的错误:最后拼凑答案的时候用的初始矩阵不应该是全0的，因为比如从 2->3 没有边，但这样就增加了从 2->3 的长度为 0 的边。所以应该是对角线为 0 ，其余为 -INF。（Orz Hzwer 找出了错误的原因）

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MaxN = 100 + 5;

typedef long long LL;

const LL INF = 1e18;

int T, n, Top;

LL m, Ans;

struct Matrix 
{
	LL Num[MaxN][MaxN];
	void Clear(LL x) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= n; ++j) {
				Num[i][j] = x;
			}
		}
	}
} M[70 + 5], M0, Temp;

LL gmax(LL a, LL b) {
	return a > b ? a : b;
}

Matrix Mul(Matrix A, Matrix B) {
	Matrix ret;
	ret.Clear(-INF);
	for (int k = 1; k <= n; ++k) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= n; ++j) {
				ret.Num[i][j] = gmax(ret.Num[i][j], A.Num[i][k] + B.Num[k][j]);
				if (ret.Num[i][j] > m) ret.Num[i][j] = m;
			}
		}
	}
	return ret;
}

bool Check(Matrix A) {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		if (A.Num[1][i] >= m) return true;
	return false;
}

int main() 
{
	scanf("%d", &T);
	for (int Case = 1; Case <= T; ++Case) {
		scanf("%d%lld", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= n; ++j) {
				scanf("%lld", &M[0].Num[i][j]);
				if (M[0].Num[i][j] == 0ll) M[0].Num[i][j] = -INF;
			}
		}
		Top = 0;
		while (true) {
			++Top;
			M[Top] = Mul(M[Top - 1], M[Top - 1]);
			if (Check(M[Top])) break;
		}
		Ans = 0ll;
		M0.Clear(-INF);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) M0.Num[i][i] = 0;
		for (int i = Top; i >= 0; --i) {
			Temp = Mul(M0, M[i]);
			if (!Check(Temp)) {
				M0 = Temp;
				Ans += (1ll << i);
			}
		}
		printf("%lld\n", Ans + 1);
	}
	return 0;
}