最大密度子图

前言

为什么要写这个最大密度子图的介绍呢？

~~因为一些同学在写博客，不写不好意思了~~
~~因为我记不住公式，所以自己推一推~~

因为这个很重要。能解决很多相关题目。

最大密度子图描绘的一类问题是，给出一张带有点和边的图，其中点和边都有相应权值。请选出一些边和一些点（其中选出的边的两点必须选择），使得边和点的权值与选择的点的个数的比值最大。

这个问题可以用最小割建立联系。在直接建图前，先推导一下。

推理过程

我们以下面的图为例子。其中v是边权，w是点权。

当然这个图的点和边比较少，这是方便画图举例子。

首先推导一下公式。我们假设G是原图，|E|是我们选择的边权的值的总和，V是我们选择的子图，|V|是选择的点权的和，|P|是选择的点的个数。

那我们只需让这个式子最大：

不妨设这个式子的值为g，即

我们的目的便是让g取最大值。那我们对式子稍作整理。

如果我们计算出左式最大值要大于0，那么说明我们的g取得过小；如果我们计算出左式最大值要小于0，那么说明我们的g取得过大

竞赛中，我们可以通过这边可以启发我们，通过二分枚举g的值，直到取出来一个g，使得左边的式子等于0。

那接下来，我们需要求出来|E| + |V| - g|P|的最大值。
不妨转换思路，求一下g|P| - |E| - |V|的最小值。

而上述式子不太好计算，我们可以进行相关的式子整理。其中V'表示G - V，即原图中V之外的部分，P表示某个点，v表示边权，w表示点权。

其中式子里的g是我们枚举出来的，算是一个已知量；w是点权，v是边权，都是已知量。那我们接下来求这个式子的最小值。

这里有一个很取巧的方式。我们可以把一条边的权值都加到两个点上，这样在计算相关值时只需用点的相关值去计算，而不是需要枚举边。不过这样算出来的值应该减半，因为两个点都被增加了一次。

这样相应的式子会变换为如下形式，其中d表示点所连接的边的权值。

不过带有分母不太好看，我们把分母提到整个式子之前，让式子好看一些。

哎，注意到这个东西。

两个没有交集的子图的并集是原图，取的边是两个子图之间的边，这和割十分相似！

因此，我们尝试用割解决这个问题。我们将原式变换一下形式，能美观不少。其中c表示割。

~~确实美观太多了~~

既然求上述式子的最小值，我们能够求出来每个点的w和d，我们可以枚举g，那怎么将相关问题和割建立联系呢？

这里有一种神奇的建图方式。我们维持原图不变，设立一个虚拟源点和虚拟汇点，每个点向汇点连一条容量为2g - 2w - d的边。考虑到这个值可能能是负的，我们取一个比较大的值U，改为向汇点连一条容量U + 2g - 2w - d的边。为了弥补这一流量，我们再从虚拟源点向每一个点连一条容量为U的边。其中，w和d的值与所选点相关，g是枚举的值。