工程控制论读书笔记—系统分析的基本方法

前言

放寒假了，终于有时间读读钱老先生的经典著作，工程控制论。因为自己对控制比较感兴趣，但是对于如何设计一个实际的控制系统还是没有头绪，希望能从这本书中找到答案。
在这章中，钱老主要对自动控制理论和现代控制理论中用到的主要概念以及工具进行了介绍。

拉氏变换

拉氏变换的定义为：\(Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)dt\)
其中\(y(t)\)为原函数，\(Y(s)\)为象函数。
从公式中，我们可以得到关于拉氏变换的如下几个性质：

• 拉氏变换是线性变换。
• 对\(y(t)\)的自变量推移时间\(\tau\)，则相应的象函数需乘以\(e^{-s\tau}\)。
• 两个函数卷积的象函数对应各自象函数的乘积。
• 两个原函数乘积的象函数对应各自象函数的卷积。
• 初值公式以及终值公式。

在控制系统中，我们主要是利用拉氏变换来求解常系数线性微分方程，拉氏变换的本质是将在时域中用微分和积分所描述的过程转换为在\(s\)域中用乘法和除法就可表达的过程，因此将微分方程转化为了代数方程。

状态空间

通过数乘和加和运算，我们可以定义一个\(n\)维的线性空间。这个空间中的每一个向量就代表系统的一种工作状态，因此又叫做状态空间。在状态空间中，可以定义向量的数量积、长度和角度等几何概念，这些都和我们平常所理解的一样。
此外，这里钱老还对矩阵以及特征值(书中又叫做本征值)的知识做了介绍。

• 一切线性变换均对应一个方阵。对于任意线性变换，我们均可以将它分解为一个二次顺序变换，即绕空间某一个轴的旋转和向量长度的改变。如果线性变换的结果使\(x\)和\(Ax\)之间的夹角小于90°，则\(A\)为正定变换。如果大于90°，则为负定变换。
• 相信大家对特征值的概念都非常清楚，这里就不再过多阐述了。对任何常量方阵\(A\)，都必存在一可逆矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ\)变为约当标准型。
• 此外钱老对矩阵的微分和积分的相关概念进行了介绍，这些都是比较常用的知识，为后面的分析打下基础。

微分方程组的求解

对于微分方程组的求解，既可以用前面提到的拉普拉斯变换的方法，也可以对其进行直接求解，当然前提是写成了状态方程的形式，下面是我推导的微分方程组的解法(这里输公式太麻烦了，可以直接看我的笔记，小米10s拍摄噢)：

上面的解法是对于系统矩阵\(A\)是常系数的微分方程来说的，对于变系数的微分方程，我们一般用计算机来求数值解，只有少数情况下可以得到解析解。
此外，微分方程理论中还常常用到的一个概念是共轭方程组，参看如下笔记：

(第一次用手写的，实在控制不好，勿喷啊啊啊)
共轭方程组的一大性质是任意两个解的内积永远为常量而与时间无关。

函数空间(希尔伯特空间)和泛函

前面我们都是采用有穷维空间中的向量代数去讨论常微分方程的求解方法，但在一些问题中(如分布参数系统)，我们还是要用到无穷维空间。因此，这两节主要是在讲如何把有穷维空间中的一些事实推广到无穷维空间即函数空间中去。
说实话，这些已经超出了我的知识储备，先大致浏览一遍有需要用到的再集中去学吧(救命)。

数值计算

这里主要介绍了用数字计算机进行相关数值计算的方法，包括插值、微分、积分和解微分方程的一些思想。

• 牛顿插值公式。
• 用差分的方法去代替微分的思想，用多项式逼近去近似微分。
• 数值积分的方法常用的有黎曼积分、梯形法，还有一个\(Simpson\)求积公式，大家有需要的可以再具体查。
• 对于常微分方程的求解，最重要的是求解基本解矩阵\(e^{At}\)，一般的做法是先将系统矩阵\(A\)变换成\(Jordan\)标准型的形式，对于\(Jordan\)标准型，我们有已经推导好的简便公式可供使用。对于变系数或是非线性的微分方程，没有普遍的解析求解方法，需要具体问题具体分析。此外，钱老还介绍了几种常用的常微分方程求解的数值方法：欧拉折线法，简单来说就是用差分去进行递推求解，可以通过缩小步长来提高近似解的精度；亚当姆斯法，没听说过这种方法，精度比欧拉折线法稍高；比较常用的是龙格库塔法，它的基本思想是将微分方程中的解展开成泰勒级数的形式并取其有限项，但在实际中计算导数往往很困难，因此通常采用如下的龙格库塔积分公式：
  
  (本来是手打的公式，但是突然断电没保存，索性拍了张照)
• 对于偏微分方程，目前开展的工作中暂时还没用到，就先不作记录了。

最速下降法

控制系统的设计通常可转化为求某一函数甚至泛函的极值问题，这一类极值问题用解析方法很难求解，一般通过计算机采用最速下降法来求解。
原理比较简单，直接上步骤：

• 任选一起始点\(x_0\)。
• 求梯度向量\(\Delta g(x_0)\)。
• 求步长\(\epsilon_0\)，使得\(g(x_0)-g(x_1)=max(g(x_0)-g(x_0-\epsilon\Delta g(x_0)))\)。
• 令\(x_1=x_0-\epsilon_0\Delta g(x_0)\),再返回第二步不断迭代，直至精度满足要求。

需要注意的是，我们通常所说的梯度下降法不需要在迭代的过程中求最佳步长，这是梯度下降法和最速下降法的主要区别。

本章的内容就是这样，看完感觉还是有很多地方不太懂，不过确实也有一定收获，2022年第一个Flag，看完工程控制论！！！