群论练习：证明 Polya 定理

我们从这个引理开始：

轨道-稳定子引理
设 \(x\in X,\ G_x = \{g:gx = x\},\ O_x = Gx\) 则 \(|G| = |G_x| |O_x|\)。

我们先证明 \(G_x\) 是 \(G\) 的一个子群，因为 \(gx = x \to g^{-1}gx = gx \to g^{-1}x = x\)，所以对于任意 \(g\in G,\ g' \in G\)，显然 \(gg'^{-1}x = x \to gg'^{-1} \in G\)。

考虑到 \([G:G_x] = \frac{|G|}{|G_x|}\)，这启发我们构造 \(|G_x|\) 的所有左陪集对 \(|O_x|\) 的映射：

\[f(gG_x) = gg'x = gx,\ g'\in G_x \]

我们须先证明此映射是良定义的，和陪集表示无关，对于 \(g_1G_x = g_2G_x \to g_1 = g_2g', g' \in G_x\)，\(f(g_1G_x) = g_1x = g_2g'x = g_2x = f(g_2G_x)\)。
由此容易得到：

• 这个映射是满的，因为对于任意 \(x_o \in O_x\)，总存在 \(gx = x_o, g\in G\)，这样就有 \(f(gG_x) = x_o\)。
• 这个映射是单的，因为对于任意 \(f(gG_x) = f(g'G_x) \to gx = g'x\)，有 \(gg'^{-1} \in G_x \to g \in g'G_x \to gG_x = g'G_x\)。

所以 \([G:G_x] = \frac{|G|}{|G_x|} = |O_x|\)，引理得证。

接下来我们证明 Burnside 引理。

考虑 \(|X/G|\) 是 \(X\) 在 \(G\) 变换下的等价类的数量，对于 \(x\)，其与 \(O_x\) 内的元素均互相等价，那么 \(x\) 的贡献应当是 \(\frac{1}{|O_x|}\)，这就导出：

\[|X/G| = \sum_{x\in X}\frac{1}{|O_x|} = \sum_{x\in X}\frac{|G_x|}{|G|} = \frac{1}{|G|} \sum_{x\in X}|G_x| \]

当 \(X^g = \{x:gx = x\}\)，显然 \(\sum_{x\in X}|G_x| = \sum_{g\in G}|X^g|\)，于是 Burnside 引理得证，即：

\[|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}|X^g| \]

Polya 定理可以通过对 Burnside 引理的简单应用得到。对于一个置换 \(g\)，考虑一个不动点 \(x = gx\)，\(x\) 在 \(g\) 的每个置换环上都必须是同值的。于是很明显这样的 \(x\) 有 \(m^{c(g)}\) 个，其中 \(m\) 是 \(X\) 中各个点的值域大小，那么应用 Burnside 引理得到 Polya 定理：

\[|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} m^{c(g)} \]