关于卡特兰数的若干讨论

去年清明写的，现在补个档。

基于序列的卡特兰数通项公式推导

​ 卡特兰数可认为是一个长度为 \(2n\) 的合法栈序列之集合的势。换言之，亦即所有长度为 \(2n\) 的仅由 \(-1\) 与 \(1\) 组成的序列 \(\{a_i\}\)，满足

\[\forall \ 1 < i <2n,\ S_i \geq 0; \quad S_{2n} = 0 \]

​ 后一个条件表明这个序列中 \(-1\) 与 \(1\) 的个数相同且均为 \(n\) ，只满足这个条件的序列数量很容易算出，它是 \(\binom {2n}{n}\) 。既然如此，我们不妨容斥地讨论满足后一个条件而不满足前一个条件的序列，设它们形成一个集合 \(A\)。

​ 我们知道，如果前一个条件不被满足，意味着：

\[\exists \ 1<i<2n,\ S_i < 0 \]

​ 因为这个前缀和 \(S_i\) 的变化是连续的，所以我们知道 \(\exists\ i,\ S_i = -1\)，不妨让第一个这样的 \(i\) 之后的数全部翻转，得到一个新的序列 \(\{b_i\}\) ，对于该序列，有：

\[T_{2n} = S_i - (S_{2n}-S_{i}) = 2S_i - S_{2n} = -2 \]

​ 如果设所有满足总和为 \(-2\) 且仅由 \(-1\) 与 \(1\) 组成的序列构成一个集合 \(B\)，那么上述变换可以形式化地表述为一个映射 \(f: A \rightarrow B\)，我们易知它是良定义的，证明从略。由此立即可得，集合 \(B\) 的势是\(\binom{2n}{n-1}\) （它的约束条件和先前的\(S_{2n}=0\)是类似的）。直到这里，我们似乎都并没有得出什么令人惊讶的结论。然而最大秘密潜藏在这个映射的性质之中——\(f\) 是一一映射，意味着 \(A\) 与 \(B\) 等势。这个结论可以导出卡特兰数：

\[C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1} = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \]

​ 一般来讲，这个结论在几何直观上更容易被人所接受（读者可以自己画图想想！）不过我们这里提供一种纯代数的证明方法。

• 先证明 \(f\) 是一个单射。这点是显然的：如果 \(a \neq a'\) （这里 \(a\)，\(a'\) 指的都是序列），因为翻转对于单个数位是单射，所以有 \(f(a) \neq f(a')\)。

• 再证明 \(f\) 是一个满射。对于 \(B\) 中的任意序列\(b\)，其总前缀和 \(T_{2n} = -2\)，同样是由连续性，容易知道 \(\exists\ i,\ T_i = -1\) 。还是对于这里的第一个 \(i\)，将其后的数全部翻转，得到了一个 \(S_{2n} = 0\) 的序列 \(a\) ，且 \(a \in A\) 以及 \(f(a) = b\)，证毕。

​ 在证明的过程中可以发现，证明 \(f\) 是满射的时候实际上也顺带证明了其逆映射是良定义的（因为翻转是一个良定义的映射），因此其实只消说明后一点就能完成证明。

卡特兰数的推广

​ 拓展卡特兰数的定义可以被表述为一个类似的集合的势，该集合内的元素均是长度为 \(n+m\ (n\geq m)\) ，仅由 \(-1\) 与 \(1\) 构成的序列，且满足：

\[\forall \ 1 < i <n+m,\ S_i \geq 0; \quad S_{n+m} = n-m \]

​ 我们如法炮制，同样容斥地考虑，只满足后一条件的序列数量容易算出是 \(\binom{n+m}{n}\)，接下来考虑其中不满足前一条件的序列形成的集合 \(A\) 。同样地知道，对于这些序列：

\[\exists \ 1<i<n+m,\ S_i = -1 \]

​ 同样地翻转得到\(\{b_i\}\)，

\[T_{n+m} = S_i - (S_{n+m}-S_{i}) = 2S_i - S_{n+m} = m-n-2 \]

​ 设所有满足总和为 \(m-n-2\) 且仅由 \(-1\) 与 \(1\) 组成的序列构成一个集合 \(B\)，\(|B| = \binom{n+m}{m-1}\)。我们仍得到一个映射 \(f:A\rightarrow B\)，接下来我们来说明其逆映射存在。

​ 对于 \(B\) 中的任意序列 \(b\) ，由于 \(m-n-2 \leq -2\)，因此仍有 \(\exists \ 1<i<n+m,\ T_i = -1\)，对于此处的第一个 \(i\)，将此后所有数翻转，便能得到一个唯一且不重复的序列 \(a\) 满足 \(S_{2n} = n-m\) 以及 \(\exists \ 1<i<n+m,\ S_i < 0\)。故而 \(a\in A\)，逆映射存在。因而 \(|A| =|B|\) ，扩展卡特兰数：

\[C_{n,m} = \binom{n+m}{n} - \binom{n+m}{m-1} = \frac{(n-m+1)}{n+1}\binom{n+m}{n} \]

​ 至此我们就讨论完了在序列意义上的卡特兰数的通项公式的计算。