The North American Invitational Programming Contest 2016 - Tourists ( LCA )

 

题意

给出一棵n个点，n-1条边的树。现在计算所有标号为x到y的距离之和（满足y>x且y是x的倍数）

思路

关于树上任意两点距离之和，一开始想到树形dp，可树形dp，是对每条边，求所有可能的路径经过此边的次数，是求出边两端的点数，这条边被经过的次数就是两端点数的乘积。
但是该题对计算的距离加了限制（y>x且y是x的倍数），显然不能用树形dp来做了。
接下来想到图论部分的算法，想处理出来两点之间的距离，也就是最短路，但是n=2e5，跑n遍dijkstra或者n遍spfa在复杂度上肯定会T，故不可行。
队友提到LCA（最近公共祖先），随意定义一个根root，用LCA倍增法预处理出来每个点到根的深度数组dep[]，然后找两个点的最近公共祖先lca，那么这两点间的距离即 dep[i] + dep[i*j] - dep[lca] * 2 + 1 （根据题意，距离是这两点间边的个数+1）

代码是kuangbin的LCA倍增法板子改了一波。

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 2e5+5;
const int DEG = 20;
typedef long long ll;

struct Edge{
    int to, next;
}edge[maxn*2];
int tot, head[maxn];

void init() {
    tot = 0;
    memset(head, -1, sizeof head);
}

void addedge(int u, int v) {
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

int fa[maxn][20];
int dep[maxn];

void BFS(int root) {
    queue<int> que;
    dep[root] = 0;
    fa[root][0] = root;
    que.push(root);
    while(!que.empty()) {
        int tmp = que.front();
        que.pop();
        for(int i = 1; i < DEG; i++)
            fa[tmp][i] = fa[fa[tmp][i-1]][i-1];
        for(int i = head[tmp]; i !=  -1; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            if(v==fa[tmp][0]) continue;
            dep[v] = dep[tmp] + 1;
            fa[v][0] = tmp;
            que.push(v);
        }
    }
}

int LCA(int u, int v) {
    if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    int hu = dep[u], hv = dep[v];
    int tu = u, tv = v;
    for(int det = hv-hu, i = 0; det; det >>= 1, i++) {
        if(det & 1) {
            tv = fa[tv][i];
        }
    }
    if(tu == tv) {
        return tu;
    }
    for(int i = DEG-1; i >= 0; i--) {
        if(fa[tu][i] == fa[tv][i]) {
            continue;
        }
        tu = fa[tu][i];
        tv = fa[tv][i];
    }
    return fa[tu][0];
}

bool flag[maxn];

int main() {
    int n;
    int u, v;
    int root;
    scanf("%d", &n);
    init();
    memset(flag, 0, sizeof flag);
    for(int i = 0; i < n-1; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        addedge(u, v);
        addedge(v, u);
        flag[v] = true;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!flag[i]) {
            root = i;
            break;
        }
    }
    BFS(root);
    ll sum = 0;
    int lca;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 2; i*j <= n; j++) {
            lca = LCA(i, i*j);
            sum += dep[i] + dep[i*j] - dep[lca]*2 + 1;
        }
    }
    
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}