第2章-数据的表示和运算

2.3 浮点数的表示和运算

1.浮点数尾数的表示

1.阶码（E）：

反映数值大小；

反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；

常用补码或移码表示的定点整数；

2.尾数(M)：

反映精度；常用原码或补码表示的定点小数

浮点数的真值：N=R^E×M，阶码的底（称为基数）R通常为2

例：若阶码和尾数均用补码表示，求a,b的真值

a=0,01;1.1001 (分号前的是阶码，分号后的是尾数,逗号前面的是符号位)

b=0,10;0.01001

a： 阶码：+1,尾数=-0.0111（二进制）

b： 阶码：+2，尾数=+0.01001（二进制）

a的真值为-0.0111×2=-0.111

b的真值为+0.01001×2^2=+1.001

×2的几次就相当于小数点向右移几位

2.浮点数尾数的规格化

上述例子中b的尾数为+0.01001，在存储时可以存储为0 01001，第一个0是符号位，若只能存储5位，最后一位就会丢失；可以考虑规格化让它的精度更高

此时符号位后第一位是无效位，可以让尾数算术左移一位，阶码减一，此时最高位就是有效位，这就叫作左规

1.规格化浮点数尾数要求：

规定尾数的最高数值位必须是一个有效值

2.左规：

当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，阶码减1

3.右规：

当浮点数运算的结果，尾数出现溢出（双符号位为01或者10）时，将尾数算术右移1位，阶码加1

例：a=010；00.1100， b=010；00.1000,求a+b

a=2^{2×00.1100，b=2}2×00.1000

a+b=2^2×（00.1100+00.1000）

​ =2^2×01.0100 （此时需要右规）

​ =2^3×00.1010

注：采用“双符号位”，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位

3.规格化浮点数的特点

1.用原码表示的尾数进行规格化：

正数为0.1XX…X的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0

尾数的表示范围为1/2≤M≤（1-2^（-n））

负数为1.1XX…X的形式，其最大值表示为1.10...0；最小值表示为1.11...1。 这个前面的1是符号位

尾数的表示范围为-(1-2^(-n))≤M≤-1/2

2.用补码表示的尾数进行规格化：

正数为0.1XX…X的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0

尾数的表示范围为1/2≤M≤（1-2^（-n））

负数为1.0XX…X的形式，其最大值表示为1.01...1；最小值表示为1.00...0。 这个前面的1是符号位

尾数的表示范围为-1≤M≤-（1/2+2^（-n））

例：某浮点数的阶码、尾数用补码表示，共4+8位：

0.110；1.1110100如何规格化？（注：补码算术左移，低位补0；补码算术右移，高位补符号位）

解：因为给出的尾数是负数，只能对其进行算术左移，因为如果右移，补的是1，无法满足补码规格化的要求；

于是就进行左移三位，变成1.0100000；左移三位相当于扩大三位，所以阶码要减3，原来是0.110是6，减3就为0.011

3.浮点数的表示范围

负上溢|可表示的负数| 负下溢 |||零||| 正下溢 |可表示的正数|正上溢

若阶码为3位，那么阶码最小为-4，若尾数为0.1那么最小的正数就为0.00001，如果要表示的数比这个还小，就出现了正下溢

如果出现正下溢和负下溢的情况，一般会把这种情况当作机器数的0进行处理

如果出现正上溢或负上溢的情况，会抛出一个异常或者中断，和后面的中断知识会有所联系

4.IEEE754标准

1.移码

移码：在补码的基础上将符号位取反。注：移码只能用于表示整数

移码的定义：移码=真值+偏置值；偏置值一般取2^{（n-1），也可以取其他值，例如2}（n-1）-1

例：若有8位数来表示一个值，此时的偏置值为2^7=128=1000 0000B

真值=-127=-111 1111B 移码=1000 0000+（-111 1111）=0000 0001

真值=-3=-11B 移码=1000 0000 +（-11B）=0111 1101

不同的偏置值会对应不同的移码

真值-128=-1000 0000B

移码=-1000 0000+0111 1111=1111 1111 ；会向更高位借一位（？）

2.IEEE 754标准

格式：ms(数符) || E（阶码，用移码表示）||M（尾数部分，用原码表示）

Ms(数符)	E（阶码，用移码表示）	M（尾数部分，用原码表示）

浮点数格式

短浮点数（单精度浮点数）；长浮点数（双精度浮点数）

类型	数符（位数）	阶码（位数）	尾数数值（位数）	总位数	偏置值（HEX）	偏置值（DEC）
短浮点数(float)	1	8	23	32	7FH	127
长浮点数(double)	1	11	52	64	3FFH	1023
临时浮点数(long double)	1	15	64	80	3FFFH	16383

偏置值为2^(n-1)-1,阶码真值=移码-偏移量；计算真值时，可以将移码当作无符号数直接减去偏置值

尾数部分隐藏表示最高位的1，表示尾数为1.M

8位阶码的正常范围为-126-127，阶码全1和全0其他用处

规格化的短浮点数的真值：（-1）^s×1.M×2（E-127）

规格化的长浮点数的真值：（-1）^s×1.M×2（E-1023）

例1：将十进制数-0.75转换为IEEE 754的单精度浮点数格式表示。

解：（-0.75）D=（-0.11）B=（-1.1）B×2^（-1）

数符=1

尾数部分=.100000.....（隐含最高位为1）

阶码真值=-1，偏置值为127

移码=-1+127=126=0111 1110B

故-0.75为 1 01111110 1000...（共32位，尾数23位）

例2：IEEE 754的单精度浮点数C0 A0 00 00 H的值是多少

C0 A0 00 00 H -->> 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000

数符：1 阶码：10000001 尾数：010 0000 0000 0000 0000 0000

数符为1表示是一个负数；尾数部分是.0100......（隐含最高位为1）说明真值=（1.01）B

移码为10000001，看作无符号数是129D

阶码真值=移码-偏置值=129-127=2D

故浮点数的真值=（-1.01）B×2^2=-1.25×4=-5.0

3.IEEE 754标准的表示范围

单精度浮点型能够表示的最小绝对值和最大绝对值

最小绝对值：尾数全为0，阶码最小值为-126，对应移码机器数为0000 0001，此时整体的真值为（1.0）B×2^（-126）

最大绝对值：尾数全为1，阶码最大值为127，对应移码机器数为1111 1110，此时整体的真值为（1.11...11）B×2^（127）

格式	规格化的最小绝对值	规格化的最大绝对值
单精度	E=1,M=0: 1.0×2（1-127）=2(-126)	E=254,M=.11...1: 1.11...1×2（254-127）=2127×（2-2^（-23））
双精度	E=1,M=0: 1.0×2（1-1023）=2(-1022)	E=2026,M=.11...1: 1.11...1×2（2026-1023）=21023×（2-2^（-52））

上面表格中的这个阶码，是把它当作无符号数时的值，下面也是把E当作无符号数时候的值

阶码全为0的特殊情况：

(1)阶码E全为0，尾数M不全为0，表示非规格化的小数±(0.XX...XX)×2^(-126)

(2)阶码E全为0，尾数M全为0，表示真值±0（根据数符位决定是正0还是负0）

在（1）中和规划化小数不同的就是隐含最高位为0，并且阶码真值固定为-126

只有1≤E≤254时，真值=（-1）^s×1.M×2（E-127）

阶码全为1的特殊情况：

(1)阶码E全为1，尾数M全为0，表示无穷大±∞, ----当运算结果出现正上溢或负上溢的时候，机器通常会把结果记为正无穷或者负无穷

(2)阶码E全为1，尾数M不全为0，表示非数值“NaN”(Not a Number) ----如：0/0,∞-∞等非法运算的结果就是NaN

4.总结

由浮点数确定真值（阶码不全为0也不全为1）：

1. 根据“这个浮点数”确定数符，阶码，尾数的分布
2. 确定尾数1.M(注意补充最高位隐含的1)
3. 确定阶码的真值=移码-偏置值（可将移码看作无符号数，用无符号数的值-偏置值）
4. （-1）^s×1.M×2（E-偏置值）

5.浮点数的加减运算

1.浮点数加减运算步骤

（1）对阶（小阶对大阶）

为什么是小阶对大阶？如果是大阶对小阶的话，小数点前面可能不止一位，用计算机去表示这样的一个数会比较麻烦

（2）尾数加减

（3）规格化

（4）舍入

为什么需要舍入：因为在计算机中浮点数存储位数是有限制的，所以尾数的位数也是有限制的，当尾数加减后的结果超出尾数位数的限制时，就要进行舍入

不同的舍入规则：

• 可以将多余的位数直接舍去
• 若舍去部分不为0，则末位+1（入1）
• 四舍五入原则

（5）判溢出

假设给阶码规定就只有2位来进行表示，那么如果运算后阶码超出范围，则溢出

如：9.99999×10^{99+9.99999×10}99=19.99998×10^{99=1.99999×10}100（这里是保留了6位尾数），此时阶码超过2位，发生溢出（注：尾数溢出未必是真的溢出，也许可以通过（3）规格化（4）舍入这两步来进行调整）

例1：求1.23456×10^{12+2.34567×10}10（这个例子是十进制的）

（1）对阶：1.23456×10^{12+0.0234567×10}12

（2）尾数加减：1.2580167×10^12

（3）规格化，这里的例子不需要进行规格化，但是如果尾数加减后出现0.001234×10^{12这种情况时，需要“左规”；或者出现12.34567×10}12这种情况时，需要进行“右规”

（4）这里若只能保留6位有效尾数，可以根据舍入规则来进行舍入，譬如直接舍入（多余位直接舍去）成1.25801×10^12

（5）判断溢出的话，这里是没有溢出的

例2：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024,按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

X=-5D×(1/256)=-101B×2^{(-8)=-0.101B×2}(-5)=-0.101B×2^(-101B)

Y=+59D×(1/1024)=+111011B×2^{(-10)=+0.111011B×2}(-4)=+0.111011B×2^(-100)

再转化成补码：X=11011，11.011000000；Y=11100，00.111011000

再根据上面的浮点数加减运算步骤进行加减：

（1）对阶 使两个数的阶码相等，小阶对大阶，尾数右移一位，阶码加1

1. 求阶差：[△E]=11011+[-Y补]=11011+00100=11111=-1，故X的阶码比Y的阶码小1；
2. 对阶,X=11011，11.011000000->11100,11.101100000

（2）尾数加减 -Y=11100，11.000101000

X-Y=11.101100000+11.000101000=11100,10.110001000

（3）规格化

两位符号位不同，表明尾数溢出，所以要进行算术右移，右移1位，阶码加一

X-Y=11101,11.011000100

（4）舍入

无舍入

（5）判溢出

阶码无溢出 ，最终结果为2^(-3)×（-1001111B） ----记得要将规格化之后的补码再转回原码

2.浮点数的加减运算-舍入

“0”舍“1”入法：在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1.但是这样加1后可能会使尾数再次溢出，此时需再做一次右规。

恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法会有使尾数变大和变小的两种可能。

如：若加减结果为11100,10.110001011

0舍1入：11100,10.11000101 1->11101,11.011000110

恒置1：11100,10.11000101 1->11101,11.011000101

在规格化步骤中，右规就会遇到舍入的问题

6.强制类型转换

类型	16位机器	32位机器	64位机器
char	8	8	8
short	16	16	16
int	16	32	32
long	32	32	64
long long	64	64	64
float	16	32	32
double	64	64	64

char->int->long->double

float->double

范围、精度从小到大，转换过程没有损失（这里默认是32位机器）

32位

int：表示整数，范围-2^31~231-1,有效数字31位

float：表示整数及小数，范围±[2^(-126)~2127×（2-2^（-23））]，有效数字23+1=24位

int->float：可能损失精度

float->int:可能溢出以及损失精度

• 浮点数是小数，转int小数部分丢失
• 浮点数太大，超出int表示范围

7.做题总结

1.8421码是十进制数的编码

2.正数的原码，反码，补码都一样

3.程序中的数字中带有E（e），表示乘10的多少次方

例：1.5678e3就表示1.5678×10^{3；1.5e100=1.5×10}100

4.对阶时，尾数的右移要带着隐含位的1一起右移