完全背包问题

和 0 - 1 背包的区别是每种物品可以选任意多个。

dp[i+1][j] = 从前 i 种物品中挑选总重量不超过  j 时总重量的最大值。递推关系为：

dp[0][j] = 0

dp[i+1][j] = max{ dp[i][j - k*w[i]] + k*v[i] | 0 <= k }

代码如下：

int dp[maxn][maxn];
void solve(){
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            for(int k = 0;k*w[i] <= j;k++){
                dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-k*w[i]] + k*v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

时间复杂度为 nw2，其实在 dp[i+1][j] 的计算中选择 k(k>=1) 的情况在 dp[i+1][j - w[i]] 的计算中选择 k - 1 的情况是相同的，

优化如下：

max{ dp[i][j - k*w[i]] + k*v[i] | 0 <= k }

= max(dp[i][j] , max{ dp[i][j - k*w[i]] + k*v[i] | 1 <= k })

= max(dp[i][j] , max{ dp[i][j - w[i] - k*w[i]] + k*v[i] | 0 <= k } + v[i])

= max(dp[i][j] , dp[i+1][j - w[j] + v[i])

代码如下：

int dp[maxn][maxn];
void solve(){
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            if(j < w[i]) dp[i+1][j] = dp[i][j];
            else dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

空间优化：

int dp[maxn];
void solve(){
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = w[i];j <= W;j--){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[W]);
}