线性变换：基底变换推导

今天上午，因为“家里蹲”大神在 SLAM 交流群里问了一下为什么 \(E\) 分解出来的 \(R\) 需要判断 \(R\) 的行列式，如果为 -1，就需要所有元素乘以 -1，以得到行列式为 +1 的 \(R\)。

旋转矩阵是将原基底下的坐标变换为新基底下的坐标，是一个线性变换的过程。

从二维旋转矩阵开始

二维旋转矩阵推导利用 \(cos, sin\) 和的分列式最简单。

\[X_1 = (x_1, y_1) = (r \cdot cos\alpha, r \cdot sin\alpha) \]

\[\begin{align} X_2 = (x_2, y_2) &= (r \cdot cos(\alpha + \beta), r \cdot sin(\alpha + \beta)) \\ &= (r \cdot cos\alpha \cdot cos\beta - r \cdot sin\alpha \cdot sin\beta, \\ & r \cdot cos\alpha \cdot sin\beta + r \cdot sin\alpha \cdot cos\beta) \\ &=(cos\beta \cdot x_1 - sin\beta \cdot y_1, sin\beta \cdot x_1 + cos\beta \cdot y_1) \end{align} \]

\[\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \]

这就是一个线性变换的过程，将原基底下的坐标 \(X_1\) 变换到现基底下的坐标 \(X_2\)。

那么这两组基底分别是什么，原基底当然就是原坐标系 \(xOy\) 的两个轴的单位向量 \([e_1, e_2]\)。

现基地是下图中的 \(x'Oy'\) 的两个轴的单位向量 \([e'_1, e'_2]\)。

由图中的角度可以得到现基底在原基底中的坐标：

\[e'_1(cos\beta, -sin\beta) \\ e'_2(sin\beta, cos\beta) \]

模为 1。

这个和旋转公式存在联系：

\[X_2 = M X_1 \\ M = \begin{bmatrix} {e'_1}^T \\ {e'_2}^T \end{bmatrix} \]

于是从坐标分量的角度看：

\[x_2 = {e'_1}^T X_1 = |e'_1| |X_1| cos(\alpha + \beta) = |X_1| cos(\alpha + \beta) \\ y_2 = {e'_2}^T X_1 = |e'_1| |X_1| cos({\pi \over 2} - \alpha - \beta) = |X_1| cos({\pi \over 2} - \alpha - \beta) \]

这就是在原坐标系下的投影。

三维旋转矩阵的行列式

同样的道理，三维旋转矩阵也是一个线性变换，新基底在原基底中的坐标是 \(R\)。

如果 \(R\) 的行列式为 -1，等价于在正常的旋转变换的结果上，对每一个坐标乘以 -1，其结果是对原点成中心对称。

如果是二维的旋转矩阵，是什么情况呢？如果按照原点中心对称，仅仅是多旋转了 180 度，并不能表现为行列式为 -1。按照行列式计算的定义，因为是二维的，“负负”得正，行列式没有任何影响。

BTW，三维坐标系存在左手系和右手系，如果对三个轴上的坐标都乘以 -1，相当于三个轴的反方向都变成了正方向。但是这个时候左右手性（这好像是分子化学用词。。。）没有发生改变。如果是两个轴的反方向变成了正方向，左收系就变成了由右手系。一个轴反方向不会发生改变。于是，奇数轴反方向不会改变左右手性，偶数轴反方向会改变左右手性。