【矩阵】RQ/QR 分解

Multiple View Geometry in Computer Vision A.4.1.1 (page 579)

将一个 3x3 矩阵 $A$ 进行 RQ 分解是将其分解成为一个上三角阵 $R$ 与一个正交阵（orthogonal matrix） $Q$ 的乘积。要求矩阵 $A$ 的秩为3，即满秩。

所谓矩阵 $Q$ 正交是指 $Q^TQ=I$， $Q$ 可以看作是一个旋转矩阵。此旋转矩阵由三个子旋转矩阵点乘而来，即 $Q = Q_xQ_yQ_z$ 。$Q_x, Q_y, Q_z$ 如下：

$$Q_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (roll) & -\sin (roll)\\ 0 & \sin (roll) & \cos (roll) \\ \end{bmatrix}$$

$$Q_y = \begin{bmatrix} \cos (pitch) & 0 & \sin (pitch) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (pitch) & 0 & \cos (pitch) \\ \end{bmatrix}$$

$$Q_z = \begin{bmatrix} \cos (yaw) & -\sin (yaw) & 0 \\ \sin (yaw) & \cos (yaw) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

将矩阵 $A$ 右乘一个矩阵，相当于将 $A$ 进行一次初等列变换。

由 $A = RQ = RQ_z^TQ_y^TQ_x^T$ 得 $AQ_xQ_yQ_z = R$。

将 $A$ 右乘 $Q_x$ 是将 $A$ 的第一列保持不变，第二列和第三列进行线性组合，解释如下：

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}$$

$$AQ_x = \begin{bmatrix} A_{11} & cA_{12} + sA_{13} & -sA_{12} + cA_{13} \\ A_{21} & cA_{22} + sA_{23} & -sA_{22} + cA_{23} \\ A_{31} & cA_{32} + sA_{33} & -sA_{32} + cA_{33} \end{bmatrix}$$

上式省略了 $roll$ ，将 $[AQ_x]_{32}$ 置为0。加上 $c^2 + s^2 = 1$ 的条件，可以算出 $c, s$，求得 $Q_x$ 。

$AQ_x$ 的结果右乘 $Q_y$ 是将第二列保持不变，第一列和第三列进行线性组合，将 $[AQ_xQ_y]_{31}$ 置为0，求得 $Q_y$ 。

$AQ_xQ_y$ 的结果右乘 $Q_z$ 是将第三列保持不变，第一列和第二列进行线性组合，将 $[AQ_xQ_yQ_z]_{21}$ 置为0，求得 $Q_x$ 。

经过三次右乘（初等列变换）可以得到上三角阵 $R$ 。

最后由计算得到的 $Q_x, Q_y, Q_z$ 通过 $Q = Q_z^TQ_y^TQ_x^T$ ，得到 $A$ 的 RQ 分解。

对于 QR、LQ、QL 分解使用类似的方式进行计算。QR 与 QL 分解是将矩阵 $A$ 进行初等行变换。