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课程第2章从李群与李代数的角度介绍三维空间的刚体运动。李群即常见的旋转矩阵、变换矩阵，李代数与李群对应，李代数 \(se(3)\) 是所有三维反对称阵的集合。
将李代数映射到李群，使得旋转与变换可微，并且消除了旋转矩阵的约束条件（$ R^TR = I, det(R) = 1 $）对优化的约束，能够在无约束条件下进行位姿的优化。
1. 三维空间与刚体运动
三维空间是三维欧几里德空间（Euclidean Space）的简称，一般使用笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System
）描述欧式空间中的点，笛卡尔坐标描述是 $ (x, y, z) \in \mathbb{E}^3 $ 的形式，这种形式可以用 \(\mathbb{R}^3\) 定义。
于是使用三维向量 $ \mathbb{R}^3 $ 描述一个三维点坐标 $ \mathbb{E}^3 $。本笔记使用 \(\mathbb{R}^3\) 替代 $ \mathbb{E}^3 $，严格意义上将 \(\mathbb{E}^3\) 是笛卡尔坐标，$ \mathbb{R}^3 $ 是三维向量。
1.1 叉乘与反对称阵
叉乘（Cross Product）是将两个三维向量映射到一个三维向量：
\[\times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 : u \times v = \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3
\]
叉乘可以可以转化为一个矩阵与向量点乘的形式，方便计算：
\[u \times v = \hat{u} \cdot v, \hat{u} = \begin{bmatrix} 0 \quad -u_3 \quad u_2 \\ u_3 \quad 0 \quad -u_1 \\ -u_2 \quad u_1 \quad 0 \end{bmatrix}
\]
1.2 刚体运动
刚体运动是三维坐标到三维坐标的映射：
\[g_t : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3; X \mapsto g_t(X), t \in [0, T]
\]
$ t $ 是时刻。
刚体运动保持范数（norm）与叉乘不变：
\[| g_t(v) | = | v |, \forall v \in \mathbb{R}^3
\]
\[g_t(u) \times g_t(v) = g_t(u \times v), \forall u, v \in \mathbb{R}^3
\]
由以上两个性质与极化恒等式（Polarization Identity）可知刚体运动也保持内积不变。三重积（Triple Product）也是保持变不变，三重积的几何意义是三个向量表示的平行六面体的体积，所以刚体运动保持体积不变。
\[<g_t(u), g_t(v) \times g_t(w)> = <u, v \times w>
\]
刚体运动可以表示为：
\[g_t(x) = Rx + T
\]
2. 李群与李代数
2.1 旋转矩阵的导数
在任意时刻的旋转矩阵都是正交的，$ R(t)R^T(t) = I, \forall t $，对这个式子左右求导：
\[{d \over dt}(RR^T) = \dot RR^T + R {\dot R}^T = 0 \Rightarrow \dot RR^T = -(\dot RR^T)^T
\]
所以 \(\dot RR^T\) 是一个反对称阵，所以在任意时刻存在一个向量 \(w(t) \in \mathbb{R}^3\) 与 $ \dot RR^T $ 对应：
\[\dot R(t)R^T(t) = \hat w(t) \Leftrightarrow \dot R(t) = \hat w R(t)
\]
上式表明了任意时刻 $ t $ 的旋转矩阵 \(R(t)\) 的导数 \(\dot R(t)\) 的计算方法——用一个反对称阵左乘旋转矩阵 \(R(t)\)。
0时刻的旋转矩阵 $ R(0) = I $，在0时刻附近展开：
\[R(dt) = R(0) + dR = I + \hat w(0) dt
\]
2.2 李群 \(SO(3)\) 与李代数 \(so(3)\)
李群（Lie Group）指连续可微的群，三维空间的旋转是连续的，所以特殊正交集 \(SO(3)\) 是三维旋转李群对应的矩阵表示。连续是关键。
Def.: A Lie group (or infinitesimal group) is a smooth manifold that is also a group, such that the group operations multiplication and inversion are smooth maps.
$ SO(3) $ 中的微分可以使用反对称阵逼近，反对称阵所在的群叫做李代数（Lie Algebra）：
\[so(3) \equiv \left\{ \hat w \right. \left| w \in \mathbb{R}^3 \right\}
\]
李代数是李群在 \(I\) 处的切空间（Tangent Space）。$ I $ 对应的是0时刻，以0时刻为基准，认为0时刻不存在旋转。
2.2.1 指数映射
前面推导得到了 $ \dot R(t) = \hat w R(t) $ 的结论，解微分方程
\[\begin{cases} \dot R(t) = \hat w R(t) \\ R(0) = I\end{cases}
\]
得到
\[R(t) = e^{\hat w t} = \Sigma_{n = 0}^{\infty}{ {(\hat w t)}^n \over n !} = I + \hat w t + {{(\hat w t)}^2\over 2!} + \dots
\]
当 $ |w| = 1 $ 时 \(R(t)\) 是绕着轴 $ w \in \mathbb{R}^3 $ 的旋转，如果将时间 \(t\) 写入到 \(\hat w\) 中（$ \hat w = \hat w t $），这样就得到了从李代数到李群的映射：
\[exp: so(3) \rightarrow SO(3); \hat w \mapsto e^{\hat w}
\]
2.2.2 对数映射
对数映射是将指数映射的逆映射，是从李群 $ SO(3) $ 到李代数 $ so(3) $ 的映射， 可以表示为
\[log: SO(3) \rightarrow so(3); R \mapsto \hat w
\]
当 $ R \ne I $ 时，
\[\|w\| = {\cos}^{-1}\left. \right({trace(R) - 1\over 2}\left. \right), {w \over \| w \|} = {1 \over \sin(\|w\|)} \begin{bmatrix} r_{32} - r_{23} \\ r_{13} - r_{31} \\ r_{21} - r_{12} \end{bmatrix}
\]
当 $ R = I $ 时，$$ w = 0 $$
2.2.3 罗德里格公式
指数映射部分将 \(R(t)\) 用一无穷级数表示，如何求取这个无穷级数呢？这就需要用到罗格里格公式（Rodrigues' Rotation Formula），对于 $ \hat w \in so(3) $：
\[e^{\hat w} = I + {\hat w \over \| w \|}\sin(\| w \|) + {\hat w^2 \over \| w \|^2}(1- \cos(\| w \|))
\]
2.3 李群 \(SE(3)\) 与李代数 \(se(3)\)
$ SE(3) $ 表示刚体运动，包括旋转和平移，在齐次坐标下定义为：
\[SE(3) \equiv \left\{ g = \begin{bmatrix} R \quad T \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}\left. \right| R \in SO(3), T \in \mathbb{R}^3 \right\} \subset \mathbb{R}^{4 \times 4}
\]
旋转矩阵求导能够直接得出旋转矩阵的导数 $ \dot R(t) = \hat w R(t) $，但 $ SE(3) $ 不具有这种性质，为了保持表达形式的一致，仿照 \(SO(3)\) 与 \(so(3)\) 定义 \(se(3)\)。
$ g $ 是刚体变换映射：
\[g: \mathbb{R} \rightarrow SE(3); g(t) = \begin{bmatrix} R(t) & T(t) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}
\]
$ g $ 是一个 \(4 \times 4\) 的矩阵，但是并不是一个正交阵，不具备 $ g g^T = I $ 的性质，但是作为一个可逆矩阵 $ gg^{-1} = I \Rightarrow \dot g g^{-1} = (\dot g g)^{-1}$，然后就如下考虑：
\[\dot g (t) g^{-1}(t) = \begin{bmatrix} \dot R R^T & \dot T - \dot R R^T T \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times4}
\]
前面 $ SO(3) $ 部分可知 $ \dot R R^T = \hat w, \hat w\in so(3) $，定义一个新的向量 $ v(t) \equiv \dot T(t) - \hat w(t)T(t) $，于是有：
\[\dot g (t) g^{-1}(t) = \begin{bmatrix} \hat w(t) & v(t) \\ 0 & 0\end{bmatrix} \equiv \hat \xi(t) \in \mathbb{R}^{4\times4}
\]
进一步求 \(\dot g\)：
\[\dot g = \dot g g^{-1}g = \hat \xi g
\]
公式中的 \(\hat\xi\) 称作 twist （twist 有旋转运动加平移运动的意思，可查 Screw Theory）。
\(se(3)\) 的定义：
\[se(3) \equiv \left\{ \hat \xi = \begin{bmatrix} \hat w & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \left. \right| \hat w \in so(3), v \in \mathbb{R}^3 \right\} \subset \mathbb{R}^{4 \times 4}
\]
$ \hat \xi $ 是 twist，$ \xi \in \mathbb{R}^6 $ 称作 twist coordinates，两者的完整定义如下：
\[\hat \xi \equiv { \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} }^{\hat{}} \equiv \begin{bmatrix} \hat w & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times4}
\]
\[\xi \equiv { \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} } \equiv {\begin{bmatrix} \hat w & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}^{\check{}} \in \mathbb{R}^{6}
\]
$ v $ 是在 \(R\) 旋转后的坐标系的线速度，\(w\) 是角速度。
2.3.1 指数映射
求 \(se(3)\)，解微分方程
\[\begin{cases} \dot g(t) = \hat \xi g(t), \hat xi = const \\ g(0) = I \end{cases}
\]
得
\[g(t) = e^{\hat \xi t} = \Sigma_{n = 0}^{\infty} { (\hat \xi t)^n \over n !}
\]
当 \(w = 0\) 时，
\[e^{\hat \xi} = \begin{bmatrix} I & v \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
当 \(w \ne 0\) 时，
\[e^{\hat \xi} = \begin{bmatrix} e^{\hat w} & {(1 - e^{\hat w})\hat wv + ww^Tv \over \|w\|^2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
2.3.2 对数映射
先利用 $ e^{\hat \xi} $ 左上角 \(3\times3\) 的矩阵计算出 \(w\) ，随后用右上角 \(3\times1\) 的式子计算 \(v\)。
3. 相机运动
相机是刚体，相机的运动是刚体运动，可以使用旋转和平移表示。
一般使用 \(g(t)\) 表示相机在 \(t\) 时刻相对世界坐标系的位置姿态：
\[g(t) = \begin{bmatrix} R(t) & T(t) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in SE(3)
\]
一般定义相机在0时刻的坐标系为世界坐标系，在世界坐标系中一点的坐标为 \(X_0\)，该点在 \(t\) 时刻的相机坐标系下的坐标为 \(X(t)\)：
\[X(t) = R(t) X_0 + T(t)
\]
在齐次坐标系下：
\[X(t) = g(t) X_0
\]
3.1 相机运动的链接
两个不同时刻 \(t_1, t_2\) 世界坐标系下的点 \(X_0\) 的坐标为 \(X(t_2), X(t_1)\)，\(X(t_2), X(t_1)\) 之间的关系是：
\[X(t_2) = g(t2, t1)X(t_1)
\]
$ g(t_2, t_1) $ 表示 \(t_2\) 相对 \(t_1\) 的位姿，通过以下方程即可得到 \(g(t_2, t_1)\) 与 $ g(t_1), g(t_2) $ 的关系。
\[\begin{cases} X(t_2) = g(t_2)X_0 \\ X(t_1) = g(t_1)X_0 \end{cases}
\]
如果存在3个时刻 $ t_1, t_2, t_3 $ ：
\[X(t_3) = g(t_3, t_2) X_2 = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1) X_1 = g(t_3, t_1)X_1
\]
\[g(t_3, t_1) = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1)
\]
$ g(t_2, t_1) $ 的逆是 \(t_1\) 相对 \(t_2\) 的位姿 $ g(t_1, t_2) $：
\[g(t_1, t_2)g(t_2, t_1)=I \Leftrightarrow g^{-1}(t_2, t_1)=g(t_1, t_2)
\]
3.2 速度变换
对 $ X(t) = g(t) X_0 $ 求导：
\[\dot X(t) = \dot g(t) X_0 = \dot g(t)g^{-1}(t)X(t)
\]
定义
\[\hat V(t) \equiv \dot g(t)g^{-1}(t) = \begin{bmatrix} \hat w(t) & v(t) \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in se(3)
\]
于是
\[\dot X(t) = \hat V(t)X(t)
\]
在非齐次坐标系中
\[\dot X(t) = \hat w(t) X(t) + v(t)
\]
