“这句话是谎话。”——哥德尔不完备性的不严谨解释
知乎有人翻译了一篇简单说明哥德尔不完备性的文章。
如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？ - 叶青杰的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/27528796/answer/1346097249
里面说到了替换 sub(a, b, c)，用这个替换可以在形式系统中构造一个符合公理的定理，但是在现实世界中的映射中是错的。
tips:
- 公理是系统的基石，是一定正确的，如果你要纠结它是不是正确就是在纠结在现实世界中是否能找到它的映射，这种映射一般也被称作是同构。
- 定理是从公理推导出、符合公理、在这个系统中是正确的推断。
哥德尔定理是说，如果一个形式系统能够同构到自然数系统，那么这个系统是不完备的。关键在于同构于自然数系统。
现在我构建一个系统，是说什么话是真话，什么话是谎话。公理就是任何话都可以是真话，也可以是假话。
我先说一句从公理推出的定理：“这句话是谎话。”（喜闻乐见，很多地方都用这句话来作为悖论。）
现在将这句话同构于自然数系统，同构后的公式是 x=0，x 是“这句话”的映射，= 是“是”的映射，0 是“谎话”的映射。
为了方便起见，用 G(x=0) 表示 x=0 的哥德尔数，用 g(G(x=0)) 表示哥德尔数 G(x=0) 对应的公式，即 x=0。
那么 sub(G(x=0), G(x=0), G(x)) 所表达的意思是 x=0 中将 x 换成 G(x=0)，于是这个替换的结果是 G(x=0)=0。
将 G(x=0)=0 从自然数系统映射回我构建的系统，G(…) 相当于是给 … 映射的话加上引号。所以 G(x=0)=0 是我系统中“‘这句话是谎话。’是谎话。”的映射。
不断做 sub(a, b, c) 替换，就能无穷写下去。（这也就是侯世达在《怪圈》所指的摄像头指向电视机所表达的感觉。）
所以“这句话是谎话。”是说明了自己是谎话，但是它在公理系统内是符合公理的，是正确的。“说明了自己是谎话”是指在现实世界中，“是正确的”是指在系统中。现实世界与系统出现不一致，这就是哥德尔不完备？
