差分

差分

定义

差分十一种和前缀和相对的策略，可以当作是求和的逆运算。

这种策略的定义是令
\( \begin{cases} a_i-a_{i-1}~~~~~~i\in[2,n]\\ a_1~~~~~~~~~~~~~~~~~i=1 \end{cases} \)
简单性质:

• \(a_i\)的值是\(b_i\)的前缀和，即\(a_n=\sum^n_{i=1}b_i\)
• 计算\(a_i\)的前缀和\(sum=\sum^n_{i=1}a_i=\sum^n_{i=1}\sum^i_{j=1}b_j=\sum^n_i(n-i+1)b_i\)

它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数。注意修改操作一定要在查询操作之前。

示例
譬如使[l,r]中的每一个数加上一个k，就是

\[b_1\leftarrow b_l+k,b_{r+1}\leftarrow b_{r+1}-k \]

其中\(b_l+k=a_l+k-a{l-1},b{r+1}-k=a{r+1}-(a_r+k)\)
最后做一边前缀和就好了。