博弈论
博弈论
一、博弈树
在组合游戏论中，博弈树是每个节点都表示一个游戏状态的有向图，图中的有向边是游戏中的某一步。
一颗完整的博弈树，包含了从雏实游戏状态开始以及所有可达状态的所有可能的移动。
终止状态
博弈树中的叶子结点是指没有后继状态的结点（表示游戏结束时的游戏状态）。
在叶子结点对应的状态中，由于双方都不能走，所以也被称为终止状态。
MAX状态
假设当前状态轮到一方走，有多个可以选择的后继状态，那么一定选择游戏值最大的后继状态。
对应的游戏值也是当前状态的游戏值。
这样的状态称为MAX状态。
MIN状态
假设当前状态轮到对方走，有多个可以选择的后继状态，那么一定选择游戏值最小的后继状态。
对应的游戏值也是当前状态的游戏值。
这样的状态称为MIN状态。
Alpha-Beta 剪枝
Alpha-Beta剪枝是指在一个Max状态时，它的后继状态一定是一个Min状态（显然），
而如果当前这个Max状态的最大游戏值是X，
而它的某个Min子状态种有一个子状态的值小于等于X，
那么这个Min子状态一定不能更新Max状态。
观察上图中的博弈树，如果先遍历了初始状态的右子树，可以知道根结点的游戏值至少为5.
而后，遍历左子树时，到\(-1\)结点，发现游戏值为\(-1\)，且是根节点的Min子状态的子状态。
由于\(-1 \leq 5\)，
所以此时不需要再遍历该Min状态的其他子状态了。
类似地，
在Min状态也可以进行Alpha-Beta剪枝。
Max状态的子状态一定是Min状态
Min状态的子状态一定是Max状态
二、有向图博弈问题
1.公平组合游戏
若一个游戏满足：
- 两名玩家交替行动。
- 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关。
- 不能行动的玩家判负。
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但常见的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。
因为围棋的交战双方分别只能落黑子和白子。（不满足条件\(2\)）
胜负判定也比较复杂。（不满足条件\(3\)）
2.有向图游戏
在公平组合游戏中，可以把所有有可能出现的状态看作是图的结点，
如果从一个状态可以通过一步转移到达另一个状态，则在两点之间连一条有向边，
这样就得到了一个状态图。
以巴什博弈为例，
一共有\(n\)个物品，两个人轮流取，
一次最少取走\(1\)个最多取走\(m\)个，
最后取光的人获胜。
如图展示了\(n=6，m=3\)的时候的状态图，
结点内的数字表示当前状态剩下的物品的个数。
假设游戏不会出现平局，即状态图是有向无环图，
所有的状态可以分成两种，
\(P\)态和\(N\)态。
\(P\)态表示该状态对于前一个玩家来说是必胜的，
而\(N\)态表示该状态对于下一个玩家来说是必胜的。
例如，对于\(n=6，m=3\)的巴什博弈来说，
0个物品显然是\(P\)态，
而还剩\(1、2\)或\(3\)个物品的状态都是\(N\)态。
如果当前状态下，游戏不能再继续进行，则该状态被成为终止状态。
例如，巴什博弈中物品已经被取光了。
在大部分的游戏规则中，终止状态都是\(P\)态。
3.Mex运算
设\(S\)表示一个非负整数集合。
定义\(mex(S)\)为求出不属于集合\(S\)的最小非负整数的运算，即：
\(mex(S)=min\) { $x|x\in N,x\in !!!!!/ S $ }
4.SG函数
对于任意状态\(x\)，
它的SG函数值为：\(g(x)=mex\) { \(g(y)|y\)是\(x\)的后续状态 }。
对于一个终止状态，因为它没有后继状态，所以它的SG函数值为\(0\)。
还以\(n=6,m=3\)的巴什博弈为例，
用\(S_i\)表示还剩\(i\)个物品的状态。
\(S_0\)是终止状态，
所以\(g(S_0)=0\)。
\(S_1\)唯一的后继状态是\(S_0\),所以\(g(S_1)=1\)。
\(S_2\)可以转移到\(S_1\)和\(S_0\)，
所以\(g(S_2)=2\)。
因为\(S_3\)可以转移到\(S_2、S_1\)和\(S_0\)，
所以\(g(S_3)=3\)。
对于\(S_4\)来说，它可以转移到\(S_3、S_2\)和\(S_1\)，
三者的SG值分别为3、2、1，
因此\(g(S_4)=0\)。
依此类推可以知道\(g(s_5)=1\)，\(g(s_6)=2\)。
如果知道一个状态的SG函数值，
可以快速地判断该状态是\(P\)态还是\(N\)态。
对于一个状态，如果这个状态的SG值等于\(0\)，
那么这个状态是\(P\)态，
否则就是\(N\)态。
仍然以\(n=6，m=3\)的巴什博弈为例，
\(g(S_4)=0\)，
所以\(S_4\)是一个\(P\)态，即先手必败。
而\(S_5\)和\(S_6\)的SG值都不为\(0\)，
它们都是\(N\)态，即先手必胜。
事实上，对于\(S_5\)和\(S_6\)来说，
先手想要必胜，需要把物品取到只剩下\(4\)个。
(显而易见)
5.Nim游戏
Nim游戏是一个公平组合游戏：
游戏开始时有\(n\)堆石子，第\(i\)堆有\(a_i\)个石子，
两个玩家轮流挑选一堆石子，
并从中取走若干个，
最后不能再取的人输。
加入只有一堆石子，那么显然是先手获胜，
因为他只需要把这堆石子取光即可。
如果有两堆或者更多堆，
游戏的最佳策略似乎并不是那么显而易见。
我们想到计算状态的SG函数。
但是由于后继状态过多，算法效率较低。
其实，Nim游戏有一个很优美的算法，
对于当前状态\(a=(a_1,a_2…a_n)\)，如果\(a_1\) ^ \(a_2\) ^ \(a_n=0\)，则为\(P\)态，否则为\(N\)态。
显然，通过这种结论。
我们可以很轻易的把Nim游戏转化成为通过SG函数来求解。
