Educational DP Contest——J 期望dp
题目
https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_j
思路
观察到每个盘子的寿司数量最多为3,那么我们定义\(dp[b][c][d]\),表示1,2,3个寿司的盘子数量还有b,c,d的期望,0个的用a表示
根据当前这一次要么选0个寿司的盘子,要么选1个寿司的盘子,要么选2个寿司的盘子,要么选3个寿司的盘子。那么可以得到转移方程:
\[dp[b][c][d]=\frac{a}{n}*dp[b][c][d]+\frac{b}{n}*dp[b-1][c][d]+\frac{c}{n}*dp[b+1][c-1][d]+\frac{d}{n}dp[b][c+1][d]+1
\]
化简后得到:
\[dp[b][c][d] = \frac{b}{b+c+d}*dp[b-1][c][d]+\frac{c}{b+c+d}*dp[b+1][c-1][d] + \frac{d}{b+c+d}dp[b][c+1][d] + \frac{n}{b+c+d}
\]
枚举的时候b,c,d对应i,j,k。我们需要注意枚举顺序
- \((i,j)\) 用到了 \((i+1,j-1)\) ,那么 \(j\) 一定得再 \(i\) 的外层,不然你怎么用到
- \((j,k)\) 用到了 \((j+1,k-1)\) ,那么 \(k\) 一定得在 \(j\) 的外层
- 所以枚举顺序为:\(k,j,i\)
AC代码
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#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x; i<=y; ++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x; i>=y; --i)
#define pushk push_back
#define popk pop_back
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define ll long long
#define emk emplace_back
using namespace std;
const int N = 300+9;
double dp[N][N][N];
int cnt[4];
int a[N];
int main() {
int n;
cin>>n;
rep(i,1,n) cin>>a[i],cnt[a[i]]++;
dp[0][0][0]=0;
rep(k,0,n){
rep(j,0,n){
rep(i,0,n){
int t = i+j+k;
if(i) dp[i][j][k]+=i*1.0/t*dp[i-1][j][k];
//(i,j)用到了(i+1,j-1),所以j要在i前面
if(j) dp[i][j][k]+=j*1.0/t*dp[i+1][j-1][k];
// (j,k)用到了(j+1,k-1),所以k要在j的外层
if(k) dp[i][j][k]+=k*1.0/t*dp[i][j+1][k-1];
if(t) dp[i][j][k]+=n*1.0/t;
//cout<<dp[i][j][k]<<endl;
}
}
}
printf("%.10f\n",dp[cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]]);
return 0;
}