Educational DP Contest——J 期望dp

题目

https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_j

思路

观察到每个盘子的寿司数量最多为3，那么我们定义\(dp[b][c][d]\),表示1，2，3个寿司的盘子数量还有b,c,d的期望，0个的用a表示
根据当前这一次要么选0个寿司的盘子，要么选1个寿司的盘子，要么选2个寿司的盘子，要么选3个寿司的盘子。那么可以得到转移方程：

\[dp[b][c][d]=\frac{a}{n}*dp[b][c][d]+\frac{b}{n}*dp[b-1][c][d]+\frac{c}{n}*dp[b+1][c-1][d]+\frac{d}{n}dp[b][c+1][d]+1 \]

化简后得到：

\[dp[b][c][d] = \frac{b}{b+c+d}*dp[b-1][c][d]+\frac{c}{b+c+d}*dp[b+1][c-1][d] + \frac{d}{b+c+d}dp[b][c+1][d] + \frac{n}{b+c+d} \]

枚举的时候b,c,d对应i,j,k。我们需要注意枚举顺序

• \((i,j)\) 用到了 \((i+1,j-1)\) ,那么 \(j\) 一定得再 \(i\) 的外层，不然你怎么用到
• \((j,k)\) 用到了 \((j+1,k-1)\) ,那么 \(k\) 一定得在 \(j\) 的外层
• 所以枚举顺序为：\(k,j,i\)

AC代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(int i=x; i<=y; ++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x; i>=y; --i)
#define pushk push_back
#define popk pop_back
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define ll long long
#define emk emplace_back
using namespace std;
const int  N = 300+9;
double dp[N][N][N];
int cnt[4];
int a[N];
int main() {
	
	int n;
	cin>>n;
	rep(i,1,n) cin>>a[i],cnt[a[i]]++;
	dp[0][0][0]=0;
	rep(k,0,n){
		rep(j,0,n){
			rep(i,0,n){
				int t = i+j+k; 
				if(i) dp[i][j][k]+=i*1.0/t*dp[i-1][j][k];
				//(i,j）用到了（i+1,j-1)，所以j要在i前面 
				if(j) dp[i][j][k]+=j*1.0/t*dp[i+1][j-1][k];
				// (j,k)用到了(j+1,k-1)，所以k要在j的外层 
				if(k) dp[i][j][k]+=k*1.0/t*dp[i][j+1][k-1]; 
				if(t) dp[i][j][k]+=n*1.0/t;
				//cout<<dp[i][j][k]<<endl;
			}
		} 
	}
	printf("%.10f\n",dp[cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]]);
	return 0;
}