2022秋招京东笔试——小红的漂亮串
题目
小红定义"漂亮串"为:至少有两个 red 子串。例如redcred为漂亮串, 但reedred则不是漂亮串,小红想知道,长度为 \(n\) 的、仅包含小写字母的字符串中,共有多少种不同的漂亮串?
思路
这道题我们正着考虑发现很难,那么本着正难则反的原则,我们反向攻破。漂亮串的总数等于总的方案数-没有red的方案数-只有一个red的方案数,我们可以利用动态规划来求。
求没有red的方案数
- 定义dp[N][4],
dp[i][1]
: 长度为i
,以r
结尾的方案数dp[i][2]
: 长度为i
,以e
结尾的方案数dp[i][3]
: 长度为i
,以e
结尾的方案数dp[i][0]
: 长度为i
,以其他小写字母结尾的方案数
- 很容易得到转移方程:
- \(dp[i][0] = 23*\sum_{j=0}^4dp[i][j]\)
- \(dp[i][1] = \sum_{j=0}^3dp[i][j]\)
- \(dp[i][2] = \sum_{j=0}^3dp[i][j]\)
- \(dp[i][3] = \sum_{j=0}^3dp[i][j]-dp[i-2][1]\)
那么最后没有red的方案数 $ res1 = \sum_{j=0}^3dp[n][j]$
只有一个red的方案数
我们利用上面的dp数组来求,枚举red的位置i,然后red的左右两侧的方案数相乘
\(res2 = \sum_{i=1}^{n-2}(\sum_{j=0}^3dp[i-1][j] * \sum_{j=0}^3dp[n-3-(i-1)][j])\)
最后的答案就是:
\(26^n - res1 - res2\)
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e6 + 9;
const int mod = 1e9 + 7;
ll dp[N][4];
int qmi(int x, int k)
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1)
res = 1ll * res * x % mod;
k >>= 1;
x = 1ll * x * x % mod;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
ll res1 = 0, res2 = 0,ans=0;
dp[1][0] = 23;
dp[1][1] = 1, dp[1][2] = 1, dp[1][3] = 1;
dp[2][1] = 26, dp[2][2] = 26, dp[2][3] = 26;
dp[2][0] = 26 * 23;
for (int i = 3; i <= n; ++i)
{
ll tmp = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3]) % mod;
dp[i][0] = 23 * tmp % mod;
dp[i][1] = tmp % mod;
dp[i][2] = tmp % mod;
dp[i][3] = ((tmp - dp[i - 2][1]) % mod + mod) % mod;
}
for (int i = 0; i <= 3; ++i)
res1 = (res1 + dp[n][i]) % mod;
for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
{
ll tmp = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3]) % mod;
int x = n - 2 - i;
ll tmp2 = (dp[x][0] + dp[x][1] + dp[x][2] + dp[x][3]) % mod;
//注意这里tmp=dp[0][0~4]时为0,所以要和1取一个max
tmp = max(1ll, tmp), tmp2 = max(1ll, tmp2);
res2 = (res2 + tmp * tmp2 % mod) % mod;
}
ans = (qmi(26, n) - res1-res2) % mod;
ans = (ans + mod) % mod;
cout << ans;
return 0;
}
/*
in:
189999
out:
438952839
in:
1000000
out:
562818096
*/