【Unity】碰撞检测算法及框架实现

背景

硕士期间研究课题是海洋生物数字孪生，基于各类Boids改进的算法里会有大量的海洋鱼类在三维空间中运动，鱼类之间会有互相感知的过程，同一帧里需要对许多行为进行决策判定，例如同伴鱼、食物、捕食者、栖息地等等。因此打算研究下有什么空间加速算法能够避免暴力迭代，减少开销。既然研究了这个，顺便也把碰撞检测也给弄懂了，想一次性弄的透彻一些，所以基于各个算法实现了一套碰撞检测框架。文章大纲和[1]这篇类似，包含了碰撞检测和空间加速算法。但是对各个算法的原理会简单概括，不对细节进行冗余介绍，但是会对各个算法的优缺点进行总结，并且主要侧重于框架的搭建。

碰撞检测

碰撞体类型定义

所有2D碰撞体继承自Collider2D。

AABBCollider2D（继承自BoxCollider2D）
BoxCollider2D
SphereCollider2D
PolygonCollider2D

所有3D碰撞体继承自Collider。

AABBCollider（继承自BoxCollider）
BoxCollider
SphereCollider
MeshCollider

Collider2D和Collider不互相干涉。

各种碰撞检测算法

AABB算法（Axis-Aligned Bounding Box)

OBB/SAT算法（Oriented Bounding Box / Seperating Axis Theorem）

OBB不赘述了，是简化成了四条边的SAT

分离轴定理：两个凸多边形之间如果不相交，那么必定存在一条线可以将两者进行分割。这条线称之为分割线（Seperating Line）
分离轴定理推论：两个凸多边形之间如果不相交，那么必定存在一条轴，让两多边形落在上面的投影线段不相交。这条轴称之为分离轴（Seperating Axis）

所以只要找到了那一条分离轴，就必定可以判断出两个凸多边形不相交。

但是这样找很难找，遍历的范围是无穷的，所以就有了简化的证明方法，来缩小搜索范围（重要推论）

重要推论：两个凸多边形之间如果不相交，那么必定存在一条平行于这两个多边形中的某一条边的分割线，同时有一条垂直于该分割线的分割轴，让两多边形落在上面的投影线段不相交。

其实AABB、OBB、SAT我认为都有个共同点，它们都是：只要寻找到一个轴，落在上面的投影没有交叉（Amin > Bmax || Amax < Bmin），则整体都不会有相交。

GJK算法（Gilbert–Johnson–Keerthi 人名缩写）

定理（基本概念）

两个多边形相交 <=> 则它们的闵可夫斯基差集必然包括原点（零向量）
这条定理的原因可以看下面的闵可夫斯基差集的基本概念
A和B是凸多边形 => A和B的闵可夫斯基差集也一定是凸多边形

闵可夫斯基差集（基本概念）

图形A和图形B中的所有点坐标两两相减，得到的新集合叫闵可夫斯基差集。比如图形A有3个点，图形B有4个点，那得到的结果一共有12个点。

上图中只给了各个顶点相减，但是实际上把A上的所有点和B上的所有点相减所得到的点，一定会被包含在右图形成的凸包当中，证明略去。那么也可以看出来，如果A和B有相交的部分，那它们相减一定等于零向量，也就代表右图的闵可夫斯基差集中一定包含原点。于是问题就转化成了判断凸多边形内是否含某个点，而凸多边形一定可以拆成多个三角形，所以最终问题的最最核心的点就是：
①求三角形内部是否包含原点
②按什么顺序在这个凸多边形中去划三角形，一步步接近原点。

单纯形（Simplex，基本概念）

K维单纯形就是包含K+1个点的凸多面体。二维下的单纯形就是三角形，三维下的单纯形的就是四面体。

Support函数（基本概念）

输入为方向d，输出是该方向上凸多边形的最远顶点的位置。

算法过程

第一个三角形的构建：
（1）第一个点：先随机选一个方向direction（例如朝右或朝两个图形的中心点连成的向量），找到direction方向下图形A最远的点和-direction方向下图形B最远的点，相减得到的向量值作为第一个点的坐标。
（2）第二个点：选取-direction方向（在有的文章视频里，也会选择从第一个点指向原点的方向），找到-direction方向下图形A最远的点和direction方向下图形B最远的点，相减得到的向量值作为第二个点的坐标。
（3）第三个点：选取第一个点和第二个点连线的垂直向量作为新的方向，且这个垂直向量是指向原点在的那一侧的。同样找到这个方向下图形A最远的点和反方向下图形B最远的点，相减得到的向量值作为第三个点的坐标。

原点没有被包含进三角形，则寻找下一个三角形：
如图，判断线段①③和线段②③哪一侧包含了原点。如果在①③的外侧，则往右找新的最远的点重新连三角形，如果在②③的外侧，则往左找新的最远的点连三角形。

每个点在被加入的过程中同时考虑：在当前寻找方向direction下图形A和反方向下图形B的差所在的点，也就是闵可夫斯基差所形成的凸多边形在这个方向下的最远坐标。它是否超过了原点，如果没有超过，直接可以判断无法相交，这也是这个算法中唯一的无相交的结束条件。例如第一个三角形构建过程中的第三步，见下图中分析。