【数学】多项式拟合法证明不等式
设 f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,[0,1]上f(x)的最小值为-1,证明[0,1]上f''(x)的最大值≥8。
- 题干需要证明的关键点:∃ξ 使 f''(ξ) - 8 ≥ 0
等价于证明 ∃ξ 使f''(ξ) - g''(ξ) ≥ 0 ( 其中g’‘(ξ)是与8相等的数 )
设g(x) = 4x2+bx+c 。其中,b和c无论是什么,不影响g''(x)=8的结果,因此选择通过g(x)该多项式去拟合f(x),通过f(x)在题干中给定的信息来确定b,c的值。
题干中的信息:
①f(0)=f(1)=0 ②∃xm 使 f(xm)=-1
因此,g(x) 也应当拟合该两点信息,使得:
① g(0)=g(1)=0 ②∃xm2 使 g(xm2)=-1
列方程:
① g(0) = c = 0
② g(1) = 4+b+c = 0
③ g(最小值点) = 二次函数最小值公式 = -1 (其实在①②满足情况下,该条已满足)
=> 得到 g(x) = 4x2-4x
拟合完成,接下来进行题干的证明:
令G(x) = f(x) - g(x) => G''(x) = f''(x) - 8
因此,题干转化为了证明 ∃ξ 使得G''(ξ) ≥ 0。
证明方法:利用罗尔定理
① G(0) = G(1) = 0
② (隐含条件) ∃η∈(0,1) 使得G(η) = f(η) - g(η) = 0 (可通过几何方式或反证法证明f(η)与g(η)必存在交点)
0、1、η 三点函数值相等,区间内又满足连续且有二阶导,因此 ∃ξ 使得G''(ξ) = 0
=> ∃ξ 使得G''(ξ) ≥ 0