dijkstra 正确性证明

（最短路的子路也是最短路。）

算法过程

定义 S 为已确定最短路的点的集合；$dis_i$ 存储当前从源点 1 到 $i$ 的最短路径。

初始状态： $dis_1=0$，$dis_{2..n}=$ INF，S 为空。

1. 在未确定最短路的点中选出 $dis$ 值最小的点 $k$，将 $k$ 加入 S 集合。
2. 扩展 $k$。（扩展即为用 $dis_k$ 更新与 $k$ 相连的点的 dis 值）

重复 1、2 步骤，直到所有点都加入 $S$ 集合。

正确性证明

已知：当前 $S$ 中的节点都已进行扩展。
要证明：在未确定最短路的点中选出 $dis$ 值最小的点 $k$，$dis_k$ 就是源点到 $k$ 的最短路。

证：
假设 $dis_k$ 不为 $k$ 的最短路，
在 $k$ 的最短路径上找出第一个不在 $S$ 中的点 $p_i$, $p_i \neq k$ （一定有这样一个 $p_i$；$Path_k$：1-...-$p_i$-...-k）；1...k 长度（真正最短路）$\ge$ 1...p 长度（$p$ 的最短路长度）
考察当前 $dis[p_i]$ 的值，由于“当前 $S$ 中的节点都已进行扩展，$dis[p_i]$ 的值就是 $p_i$ 的最短路，$dis[p_i]<=dis[k]$。
如果 $dis[p_i]<dis[k]$ ，矛盾。
如果 $dis[p_i]=dis[k]$，可推出 $dis[k]$ 为最短路，矛盾。