LCA 问题解法（Least Common Ancestor）

LCA = Least Common Ancestor

1. 倍增

先确定一点为根。
预处理出$f[i][j]$, 表示从$i$开始往上跳$2^j$，所到达的节点编号。

对于求解$a$和$b$的LCA：（假设其LCA为节点$c$, $c$的儿子节点为$k$）
我们先让它们跳到同一高度。
然后应注意这几个事实：$a$和$b$到$k$所需要跳的长度$len$是相等的。也就是说存在一个唯一的$len$的二进制分解；$2^i>2^{i-1}+2^{i-2}+...+2^0$
接下来要做的是从大到小枚举$2$的次幂，对于$2^i$, 如果$a$和$b$往上跳$2^i$不相等，那就让$a$和$b$往上跳$2^i$，即$len$的二进制分解后第$i$位为$1$

2. 将树上 LCA 转化为序列 RMQ（Range Minimum/Maximum Query）

2.0 定义

欧拉序列：上面这棵树所对应的欧拉序列为：1, 5, 1, 4, 3, 4, 2, 4, 1
dfs 序：1 5 4 3 2。后文用 $D_i$ 代替 dfs 序中的第 $i$ 项。
dfn：$dfn_1=1,dfn_5=2,dfn_4=3,dfn_3=4,dfn_2=5$
$pos_i$ : 节点 $i$ 在欧拉序列中第一次出现的位置。如，$pos_4=4$。
$LCA(a, b)$：$a, b$ 的 LCA 的节点编号。

2.1 dfs 序

• 一个事实：遍历以 $x$ 为根的子树：$x$ — $x$ 的子树1 — $x$ 的子树2... || 在 dfs 序中，$x$ 的后代一定在 $x$ 之后。

• 算法分析

问题：对于 $u, v$, 求 $LCA(u,v)$。$u=v$ 特判。

不妨设 $dfn_u<dfn_v$，即先遍历到 $u$。

① 当 $u,v$ 不为祖孙关系时，即 $LCA(u,v)\neq u$
$D[dfn[u]...dfn[v]]$ 中/深度最小的节点/的父亲是 $LCA(u,v)$。（※）

② 若 $u$ 是 $v$ 的祖先，我们想要沿用 ① 的方法（※），希望它能推广到这种情况。
$D[dfn[u]+1...dfn[v]]$ 中/深度最小的节点/的父亲是 $LCA(u,v)$。
事实上，我们发现这个对于 ① 的情况也适用。（※）

综上，对于 $dfn_u<dfn_v$， $D[dfn[u]+1...dfn[v]]$ 中/深度最小的节点/的父亲是 $LCA(u,v)$。

2.2 欧拉序

• 算法过程：

对于给定的有根树 $T$, 求出其欧拉序列 $F$。
现在想要求节点 $a, b$ 的 LCA。
不妨设 $pos_a<=pos_b$。
有结论： 设 $F_k$ 的深度是 $F[pos_a...pos_b]$ 中深度最小的节点，节点 $a, b$ 的 LCA 就是 $F_k$。

• 正确性说明：

首先，$F[pos_a...pos_b]$ 中有 $LCA(a, b)$。
其次，$F[pos_a...pos_b]$ 中深度最小的节点有且仅有一个。
最后，$LCA(a,b)$ 是 $F[pos_a...pos_b]$ 中深度最小的节点。