KMP 算法

写作时间：2023/1/30/16:33

1. KMP 算法是什么

• 问题：

  给出两个字符串 $s_1$ 和 $s_2$，若 $s_1$ 的区间 $[l, r]$ 子串与 $s_2$ 完全相同，则称 $s_2$ 在 $s_1$ 中出现了，其出现位置为 $l$。
  定义一个字符串 $s$ 的 border 为 $s$ 的一个非 $s$ 本身的子串 $t$，满足 $t$ 既是 $s$ 的前缀，又是 $s$ 的后缀。
  现在请你求出 $s_2$ 在 $s_1$ 中所有出现的位置。对于 $s_2$，你还需要求出对于其每个前缀 $s'$ 的最长 border $t'$ 的长度。

• KMP 可以在 $O(N+M)$ 的时间内解决如上的字符串匹配的问题。（$N, M$ 分别是两个字符串的长度）

2. 关于 nxt 数组

2.1 定义

对于字符串 $S$, $nxt_i$ 表示 ：$S[1...i]$ 中最长的相等真前缀与真后缀的长度。（根据定义即可发现，$nxt_i<i$）
例如，对于 $S=ababac$, $nxt_1=0, nxt_2=0, nxt_3=1, nxt_4=2, nxt_5=3, nxt6=0$。（ps. $nxt$ 数组其实对应的就是 $border$）

2.2 引理※

• 引理 1：$nxt_i$（对于 $nxt_i>1$） 所对应的相等真前缀与真后缀是由 $S[1...i-1]$ 中的一个相等真前缀与真后缀扩展而来的，当然，不一定是由 $S[1...i-1]$ 中那个最长的相等真前缀与真后缀扩展而来的。

• 引理 2：$nxt_i$, $nxt_{nxt_i}$, $nxt_{nxt_{nxt_i}}$....，分别对应 $S[1...i]$ 中所有相等真前缀与真后缀的依次递减的长度。※

2.2 nxt[i] 怎么求？

首先，假设我们已知 $nxt_{1}..nxt_{i-1}$。

根据引理 1, 有这样一个思路：枚举所有 $S[1...i-1]$ 的相等真前缀与真后缀，枚举顺序是按长度依次递减。设当前枚举到的相等真前后缀的长度是 $l$, 若发现可以扩展，即 $S_{l+1}=S_i$, 则 $l$ 就是 $nxt_i$ 的答案。

至于怎么枚举所有 $S[1...i-1]$ 的相等真前后缀，根据引理 2, 可知，$nxt_{i-1}, nxt_{nxt_{i-1}}$... 构成了所有 $S[1...i-1]$ 的相等真前后缀长度。又因为 $nxt_i \le i-1$ 且我们已知 $nxt_{1}...nxt_{i-1}$, 所以我们知道 $nxt_{i-1}, nxt_{nxt_{i-1}}$...

求 nxt 数组的代码

void getnxt(){
	for(int i = 1; i <= n; i++) nxt[i] = 0;
	nxt[0] = -1;
	for(int i = 2, j; i <= n; i++){
		j = nxt[i - 1];
		while(a[j + 1] != a[i] && j != -1) j = nxt[j];			
		if(j != -1) nxt[i] = j + 1;
	}	
}

有了 $nxt$ 数组，接下来就是利用 $nxt$ 数组解决匹配问题。
（先说明一下，后面提到的 $S$ 是文本串，$T$ 是模式串，$len1, len2$ 分别是 $S$ 与 $T$ 的长度）

3. KMP 算法流程

现在有两个指针 $i$,$j$, 分别表示 当前要匹配 $S_i$, $T_j$。接下来，分类讨论。

• $S_i=T_j$

  • $j=len2$：记录答案，j = nxt[j] + 1; i++; （中间直接跳过※）
  • $j \ne len2$： i++; j++;

• $S_i \ne T_j$

  • $j=1$：i++; j++;
  • $j>1$：j = nxt[j - 1] + 1;