树状数组

（网上的许多博客讲解树状数组的时候都把他当做“一棵树”来讲解，但我认为把他当成“数组”来理解反而更加清晰易懂）

先引入一下 $lowbit$ : 设有一个数 $x$ , 那么 $lowbit(x)$ 就是把 $x$ 用二进制表示后，从右到左第一个 $1$ 所表示的权值。例如， $lowbit(5)=lowbit(101)=1, lowbit(10)=lowbit(1010)=2, lowbit(8)=8$ . （ $lowbit$ 也表示最大能整除 $x$ 的 $2$ 的幂）

树状数组具体实现：我们设原数组为 $a$ , 树状数组为 $c$ . 其中， $c_i$ 表示 $a[i]+a[i-1]+...+a[i-lowbit(i)+1]$ , 即从 $a_i$ 开始（包括 $a_i$ ）的前面的 $lowbit(i)$ 个数的和。

查询

—— 如何查询 $a_1+a_2+...+a_x$ 呢？

while(x){
    //x 代表着“现在还有 a_1, a_2...a_x 这些数没有加到 ans 里”
    ans += c[x];//运行完这一行表示 a_x 前 lowbit(x) 个数(包括 a_x)已经加到 ans 里了，
    x -= lowbit(x);//根据上一行的解释和 x 的定义，x -= lowbit(x) 是显然的
}

至于如何查询 $[l, r]$ 的和，只需用 $query(r)-query(l-1)$ 即可。

单点修改

—— 要给 $a_x$ 加上 $k$ ， $c$ 数组需要怎么修改呢？
先给出做法：

while(x <= N){//这里, N 表示原数组的大小
    c[x] += k;
    x += lowbit(x);
}

证明其正确性：

当 $a_x$ 修改时，我们维护的 $c$ 数组也要相应的修改——要且仅要修改那些包含了 $a_x$ 的 $c_i$ . 现在，问题转化成了，我们怎样找全包含了 $a_x$ 的 $c_i$ 呢？

首先，我们约定，“ $c_n$ 覆盖 $c_m$ ” 表示 $c_m$ 所维护的区间 $\in$ $c_n$ 所维护的区间。例如， $c_8(它维护 a_8+a_7+a_6+a_5)$ 覆盖 $c_6(它维护a_6+a_5)$ .

性质 $1$ ：若 $c_a$ 覆盖 $c_b$ , 且 $c_b$ 覆盖 $c_n$ , 那么 $c_a$ 覆盖 $c_n$ 。 $(a \ne b \ne n)$ （这是比较显然的，结合“覆盖”的定义不难想明白）
命题 $1: c[x+lowbit(x)]$ 覆盖 $c[x]$
证明：
首先，不难得出， $lowbit(x+lowbit(x)) > lowbit(x)$ .
$\Rightarrow lowbit(x+lowbit(x)) \ge lowbit(x) \times 2$
设 $lowbit(x+lowbit(x))=lowbit(x)\times2+k$ $(k\ge0)$
$c[x]=a[x]+...+a[x-lowbit(x)+1]$
$c[x+lowbit(x)]=a[x+lowbit(x)]+...+a[a-lowbit(x)+1-k]$
显然， $c[x+lowbit(x)]$ 覆盖 $c[x]$ .
命题 $2$ : 若 $x < y < x+lowbit(x)$ $(lowbit(x)>1)$ , 则 $c[y] \cap c[x]=\varnothing$ （这里， $c[y] \cap c[x]$ 表示 $c[y]$ 与 $c[x]$ 所维护的区间的交集）
证明：
设 $y=x+b$ . 那么，有 $1 \le b < lowbit(x)$ , 同时，可知 $lowbit(y)=lowbit(b)$ (这里需要想一想，不难).
考察 $c[y]$ 所维护的区间的最左端 $y-lowbit(y)+1$ . $y-lowbit(y)+1=x+b-lowbit(b)+1 > x$
所以， $c[y] \cap c[x]=\varnothing$