Dinner Bet Gym - 101174D (期望dp)

Problem D: Dinner Bet

\[Time Limit: 1.5 s \quad Memory Limit: 256 MiB \]

题意

题意是两个人在玩游戏，一共有\(n\)张牌，这两个人手上各有\(m\)张牌，然后对于每一轮操作，从总的\(n\)张牌中随机抽出\(D\)张牌，然后两个人手上含有这\(D\)张牌点数的牌被标记起来，在把\(D\)张牌放回\(n\)堆中，当有一个人手上的牌全部被标记过，游戏就结束，让你求这个游戏可以玩几轮的期望。

思路

一开始看到这个题我是束手无策的...不知道这些牌的点数怎么处理。😭
考虑每张牌取到的概率是一样的，所以点数就变的不是那么重要了，我们可以考虑牌的点数把他们进行如下分类：

1. 第一部分是仅第一个人有第二个人没有的牌。
2. 第二部分是两个人都有的牌。
3. 第三部分是仅第二个人有第一个人没有的牌。

设第二部分的牌有\(B\)张，那么很明显第一部分和第三部分都是\(m-B\)张，我们用\(A\)来表示，那么两个人手中一共出现的牌就是\(tol = 2*A+B\)张。
定义\(dp[x][y][z]\)表示第一部分取了\(x\)个，第二部分取了\(y\)个，第三部分取了\(z\)个时，还可以玩几轮的期望。

1. 首先，当\(x+y==m || y+z==m\)时，已经结束游戏，\(dp[x][y][z] = 0\)。

2. 对于一次操作，可以看成第一部分新标记了\(a\)个，第二部分新标记了\(b\)个，第三部分新标记了\(c\)个，剩下的\(D-a-b-c\)不产生新的标记，设这个概率为\(p[a][b][c]\)，那么就可以得出转移方程：

\[dp[x][y][z] = 1+\sum_{a=0}^{A-x}\sum_{b=0}^{B-y}\sum_{c=0}^{A-z}p[a][b][c]*dp[x+a][y+b][z+c] \]

但是如此操作可能出现\(a=b=c=0\)的情况，需要单独拿出来，也就是：

\[dp[x][y][z] = 1+p[0][0][0]*dp[x][y][z]+\sum_{a=0}^{A-x}\sum_{b=0}^{B-y}\sum_{c=0}^{A-z}p[a][b][c]*dp[x+a][y+b][z+c] \\ \]

综合以上两个式子，可以得到

\[dp[x][y][z] = \frac{1+\sum_{a=0}^{A-x}\sum_{b=0}^{B-y}\sum_{c=0}^{A-z}p[a][b][c]*dp[x+a][y+b][z+c]}{1-p[0][0][0]} \]

其中分子部分不包括\(a=b=c=0\)情况。
接下来的只要求出\(p[a][b][c]\)就可以得出\(dp\)了，考虑\(dp[x][y][z]->dp[x+a][y+b][z+c]\)过程，可以得到

\[p[a][b][c] = \frac{C_{A-x}^{a}*C_{B-y}^{b}*C_{A-z}^{c}*C_{x+y+z+n-tol}^{D-a-b-c}}{C_{n}^{D}} \]

然后用\(dfs\)就可以转移了。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cfloat>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pii        pair<int, int>
#define  INOPEN     freopen("in.txt", "r", stdin)
#define  OUTOPEN    freopen("out.txt", "w", stdout)

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 1e5 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

int n, m, A, B, D;
int cas, tol, T;
bool vis[100];
ll C[55][55];
double dp[12][12][12];

void handle() {
    C[0][0] = 1;
    C[1][0] = C[1][1] =1;
    for(int i=2; i<=50; i++) {
        for(int j=0; j<=i; j++) {
            C[i][j] = j==0 ? 1 : C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
        }
    }
}

void dfs(int x, int y, int z) {
    if(x+y==m || y+z==m) {
        dp[x][y][z] = 0;
        return ;
    }
    if(dp[x][y][z] != -1.0)	return ;
    double t = 0, sum = 0;
    for(int a=0; a<=A-x; a++) {
        for(int b=0; b<=B-y; b++) {
            for(int c=0; c<=A-z; c++) {
                if(a+b+c > D)	continue;
                if(a==0 && b==0 && c==0) {
                    t = 1.0*C[x+y+z+n-tol][D-a-b-c]/C[n][D];
                    continue;
                } else {
                    dfs(x+a, y+b, z+c);
                    sum += 1.0*C[A-x][a]*C[B-y][b]*C[A-z][c]*C[x+y+z+n-tol][D-a-b-c]*dp[x+a][y+b][z+c]/C[n][D];
                }
            }
        }
    }
    dp[x][y][z] = (1.0+sum)/(1.0-t);
    return ;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &D, &m);
    handle();
    mes(vis, 0);
    for(int i=1, x; i<=m; i++) {
        scanf("%d", &x);
        vis[x] = true;
    }
    A = B = 0;
    for(int i=1, x; i<=m; i++) {
        scanf("%d", &x);
        if(vis[x])	B++;
        else	A++;
    }
    tol = 2*A+B;
    for(int i=0; i<=A; i++) {
        for(int j=0; j<=B; j++) {
            for(int k=0; k<=A; k++) {
                dp[i][j][k] = -1.0;
            }
        }
    }
    dfs(0, 0, 0);
    printf("%.5f\n", dp[0][0][0]);
    return 0;
}