同余最短路

• 题型大概为若干个无限多个正整数来拼凑出某些数（类似完全背包）。
• 套路为随便选一个数 $M$ 转化为求 $f(x)$ 表示拼凑出 $x + kM$ 的最小 $k$。转化为最短路。
• 该模型的强大之处在于将完全背包的结构清晰地展现出来。

同余最短路求能凑成多少（H以内的）数#

经典题目：跳楼机

随便挑一个数 $M$ 作为模数，求出上述 $f(x)$ 即可算出答案。

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inline void dij() {
	...
	while (!q.empty()) {
		...
		
		to = (cur + y) % x;
		if (vis[to])	continue;
		if (dis[cur] + y < dis[to]) {
			dis[to] = dis[cur] + y;
			q.push((node){dis[to], to});
		}
		...
	}
}

同余最短路求最大不能拼凑出来的数#

“小凯的疑惑”加强版

经典题目：牛场围栏

特判掉存在 $1$ 的情况和 gcd 不为 1 的情况。

随便找一个数（最小的数）当作模数，求出 $f$ 后根据 $f$ 求解。

绕圈法#

我退役后才注意到的新做法。将同余最短路看作完全背包问题，最多加 $\frac{m}{gcd(m,v)}$ 个 $v$，否则可以被 $m$ 替换掉。因此可以对 $Z_m$ 上由加 $v$ 得到的 $gcd(m, v)$ 个轨道分别顺序递推（例如对每个轨道找到最小值，从这里开始往后更新；或者直接推两遍）。复杂度是优秀的 $O(nm)$ 且极其好写。

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memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0] = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
     int v = a[i], g = get_gcd(a[1], a[i]);
     for (int j = 0; j < g; ++j) {
          int p = j;
          do {
               MIN(f[(p+v)%a[1]], f[p]+v);
               p = (p+v)%a[1];
          } while (p != j);
          do {
               MIN(f[(p+v)%a[1]], f[p]+v);
               p = (p+v)%a[1];
          } while (p != j);
     }
}

一类完全背包问题#

• 背包

题意：

本题中，你需要解决完全背包问题。

有 $n$ 种物品，第 $i$ 种物品单个体积为 $v_i$、价值为 $c_i$。

$q$ 次询问，每次给出背包的容积 $V$，你需要选择若干个物品，每种物品可以选择任意多个（也可以不选），在选出物品的体积的和恰好为 $V$ 的前提下最大化选出物品的价值的和。你需要给出这个最大的价值和，或报告不存在体积和恰好为 $V$ 的方案。

为了体现你解决 NP-Hard 问题的能力，$V$ 会远大于 $v_i$，详见数据范围部分。

$1 \le n \le 50, 1 \le v_i \le 10^5, 1 \le c_i \le 10^6, 1 \le q \le 10^5, 10^{11} \le V \le 10^{12}$

题解：

直观想法是尽可能多去选性价比最高的物品（设其为 $(m, w)$），问题是怎么样尽早达成余数要求，并且这里未必“越早越好”，还需要考虑达成余数要求时所产生的那部分额外收益。

考虑模 $m$ 下跑同余最短路时，对于两个余数相同的状态 $(V_1, C_1)$ 和 $(V_2, C_2)$，假设后来有个询问 $V$ 满足 $V \mod m = V_1 \mod m(= V_2 \mod m)$，我们将会选择 $V_i \le V$ 且 $C_i + \frac{V-V_i}{m}w$ 最大的状态。因此可以把 $C_i-\lfloor \frac{V_i}{m}\rfloor w$ 作为状态的权值来比较更新。（后面会证明这样得到的答案必定满足 $V_i \le V$）

基于上述思想，同余最短（长）路转移时可以通过加入 $(v_i,c_i)$ 物品由 $(V^p, C^p)$ 转移到 $(C^q,V^q), q = (p+v_i)\mod m$，权值更新： f[q]=max(f[q], f[p]+c[i]-(p+v)/m*w)，即跑最长路。因为 $(m,w)$ 性价比最高，所以图无正环。

因为无正环，所以最长路无环，所以最多 $m$ 条边，即最多用了 $m$ 个物品，因此最多体积 $m \times maxv$，即 $maxv^2 \le 10^{10} < 10^{11}$，所以这样得到的答案必定满足 $V_i \le V$。

单调队列优化等差数列同余最短路#

• 论战捆竹竿

使用字符串 $S$ 的所有 border 长度能拼出来 $w$ 以内的多少个数？$|S| \le 5 \times 10^5, w \le 10^{18}$

border 长度集合可以划分为不超过 $\log_2 |S|$ 个等差数列。对于等差数列 $x, x+d, x+2d, \dots, x+ld$，在 $\mod x$ 下跑同余最短路，则转移的时候是在每个轨道上用长度为 $l$ 滑动窗口取最小值来转移。如何从模 $p$ 切换到模 $q$？注意到我们处理出来的模 $p$ 的结果告诉我们长度集合 $\{dis_i + kp | 0 \le i \lt p, k \ge 0\}$ 是可以达到的，因此在模 $q$ 下我们可以先把 $dis_i$ 都加上去，然后再用 $p$ 转移一遍。

当然还有一些奇奇怪怪的同余最短路题

Small Multiple#

给定 $n$，求 $n$ 的倍数中，数位和最小的那一个数的数位和。
$1\le n\le 10^5$

Small Multiple 题解#

• 每个十进制数都可以由“乘十”和“加一”来表示，其中“加一”的次数即为数位和。
• 因为要求 $n$ 的倍数，即模 $n$ 为0，因此考虑在模 $n$ 下的从 $1$ 到 $0$ 的最短路。