多项式多点求值

给一 \(n\) 次多项式 \(F(x)\)， \(m\) 次询问，每次求 \(F(x_i)\) 的值。

\(1 \le n,m \le 64000\)

EI,rqy

方法：转置原理

通过调整（补常数项，补询问），我们能够让 \(n=m\)。

接下来可能会用到许多线性代数的东西。

• 转置的意思是行列互换，原来 \((i,j)\) 变为现在的 \((j,i)\)。

• 如果 \(A = E_1E_2E_3\)，那么 \(A^T = E_3^TE_2^TE_1^T\)。

• 初等行变换共三种：\(x += cy,x *= c,swap(x,y)\)。其中 \(x += cy\) 的矩阵为对角矩阵的第 \(x\) 行第 \(y\) 列多了个 \(c\)，\(x *= c\) 的矩阵为对角矩阵的第 \(x\) 行第 \(x\) 列的系数为 \(c\)，\(swap(x,y)\) 的矩阵为对角矩阵的第 \(x\) 行为 \(1\) 的位置出现在了第 \(y\) 列，第 \(y\) 行为 \(1\) 的位置出现在了第 \(x\) 列。这三种变换的转置分别为 \(y += cx\)，不变，不变。

• 所有对某个矩阵 \(M\) 进行的线性变换操作均可以看作 \(M\) 和一个个初等行变换矩阵相乘的形式（我们一般认为相乘为左乘，即将初等行变换矩阵一个个地放到左边）

• 多个初等行变换依次进行可以被合并拆分，具有结合律，这些矩阵的转置可以看作倒着做每个变换的转置矩阵。但是多个初等变换同时进行有时候不能被拆分，如 \(h_1 += h_2,h_2 += 2h_3,h_3 += 3h_1\)，拆分后的变量就变了，只能把它们写到一个矩阵里。这种矩阵的转置可以看作每个变换的转置矩阵同时进行。

• 一个多项式通常可以看作一个列向量。一个多项式乘常多项式可以看作线性变换，比如 \(f(x)g(x)\) 可以将其拆为 \(f(x)g_ix^i\) 相加，而 \(f(x)g_ix^i\) 可以看作将 \(f(x)\) 这一列的每一个元素乘上一个 \(g_i\) 的常数，加到了其下面 \(i\) 行的那个位置。

• 多项式 \(F\) 乘常多项式 \(G\) 还可以看作这个过程：\(F\) 通过 \(DFT\) 变为 \(F'\)，和常多项式的点值（也是常数）\(G'\) 对应相乘，再 \(IDFT\) 变为 \(F\)。其中 \(DFT\)，对应相乘，\(IDFT\) 这三种操作都是线性的，且其转置都是自身（DFT 本质上是一个第 \(i\) 行第 \(j\) 列为 \(\omega_n^{(i-1)(j-1)}\) 的矩阵，显然其转置不变，IDFT 同理，而对应相乘可以看作若干 \(x *= c\) 依次进行或同时进行）

好的让我们进入正题。

我们要求的是这样的一个矩阵（列向量）：

\[\begin{pmatrix} 1& x_0& x_0^2& \cdots& x_0^{m-1}\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots& x_1^{m-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots& x_2^{m-1}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 1& x_{n-1}& x_{n-1}^2& \cdots& x_{n-1}^{m-1}\\ \end{pmatrix} f \]

其中 \(x_i\) 为要求的第 \(i\) 个点值，在这里我们认为它是固定的，即与 \(f\) 无关的。\(f\) 为输入的系数向量（列矩阵）

其中左边的叫做范德蒙矩阵，记作 \(V\)。我们发现 \(Vf\) 并不好求，但是 \(V^Tf\) 很好求，即：

\[\mathbf V(x_0, x_1,\dots, x_{n-1})^{\mathsf T} \mathbf f = \begin{bmatrix} 1& 1& 1& \cdots& 1\\ x_0& x_1& x_2& \cdots& x_{n-1}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ x_0^{n-1}& x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots& x_{n-1}^{n-1} \end{bmatrix}\mathbf f \]

很好求。为什么呢？我们仔细观察，发现这个东西用多项式来表达为：

\[\sum_{i=0}^n f_i\sum_{j=0}^n x_i^jx^j\\ =\sum_{i=0}^nf_i\frac{1}{1-x_ix} \]

这个东西可以通过分治套 NTT 暴力通分搞出分子和分母，然后多项式求逆得到答案。复杂度为 \(O(n \log^2 n)\)。然而这样做一定是假的，因为它求出的是 \(V^Tf\)，这个没有任何意义。但是这个求 \(V^T\) 的过程对求 \(V\) 的过程很有启发。

考虑到 \((V^T)^T=V\) ，我们只需要把刚才那个“假”做法中的所有初等行变换记录下来，反过来乘其置换矩阵即可。但是太麻烦了。我们考虑这个操作在我们人类眼中是个什么样子的存在。

首先分解 \(V^Tf\)。我们那个假做法为：\([除以分母] \times [分治NTT求分子] \times f\)，其中 \([除以分母]\) 和 \([分治NTT求分子]\) 都可以看作矩阵。

具体地讲，我们设常多项式 \(g(x) = \prod_i 1-x_ix\)，即分母，那么 \([除以分母]\) 这个操作实际上为 \([IDFT] \times [与 g^{-1} 对应位相乘] \times [DFT]\)。\([分治NTT求分子]\) 这个操作比较复杂：

• 递归到叶子节点时：\(ans_x=f_i\)
• 非叶节点：
• • 递归儿子求儿子的分子 \(ans_{l},ans_r\) 和儿子的分母 \(g_{l},g_r\)
  • \(ans_x = ans_lg_r+ans_rg_l\)

如果我们认为列向量 \(f\) 是由原来叶子上的一个个初值组成的，那么这些操作（主要是非叶节点的操作）都可以看作是对 \(f\) 的一系列线性变换。或者说，是若干多项式逐渐合并成为一个多项式的过程。

现在我们要探寻 \(V^T\) 的转置矩阵 \((V^T)^T\)，它应该是：

\[(([IDFT] \times [对应乘g的点值] \times [DFT]) \times [自下而上递归求分子])^T\\ =[自上而下反过来变换]^T \times [DFT] \times [对应乘] \times [IDFT] \]

右面那部分比较好算，可以算得：

\[[DFT] \times [对应乘] \times [IDFT] \times f = h \]

现在考虑 \([自上而下反过来变换]^T\) 究竟是什么：

• 根节点：\(h_x\)

• 非叶节点：

• • \(h_l = h_x 乘 g_r,h_r = h_x 乘 g_l\)（根据初等行变换的转置矩阵的样子)（此处“乘”表示上面的那种乘法）
  • 分别拿着 \(h_l\) 和 \(h_r\) 递归到俩儿子处继续算

  叶节点：\(Res_x\)

这些操作可以看作是一个多项式逐渐分裂分裂变成一堆零次多项式，而那些零次多项式所组成的矩阵即为所求矩阵 \(Vf\)。

于是一切都结束了。算法流程为：

• 计算分母 \(g\)，注意保留其在每个分治节点上的值。
• 求 \(g^{-1}\)，其转置为自身。
• 定义 \(\times ^T\) 表示那种奇葩的先 \(IDFT\) 再乘再 \(DFT\) 的乘法。计算 \(g^{-1} \times^T f\)（左乘）放在根节点准备分治。
• 我们称 \(h\) 为上面传下来的多项式，根节点为 \(g^{-1} \times^T f\)，那么计算 \(h \times^T g_r\) 扔到左面递归，计算 \(h \times^T g_l\) 扔到右面递归。
• 最后叶子节点存的多项式即为答案。