AT5202 [AGC038E] Gachapon

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被二月份的自己爆踩了

弱化版：喂鸽子

显然可以用 min-max 定理来搞：

\[\Sigma S = \sum_{i \in S}a_i \]

\[\begin{aligned} E(\max_{i \in S}(x_i))\\ &=\sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T|+1}E(\min_{i \in T}(x_i))\\ &=\sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T|+1}\frac{\Sigma S}{\Sigma T}E'(\min_{i \in T}(x_i))\\ &= \sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T| + 1}\frac{\Sigma S}{\Sigma T}\sum_{t}P(x=t)t\\ &= \sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T| + 1}\frac{\Sigma S}{\Sigma T}\sum_{t\ge 0} P(x > t)\\ &= \sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T|+1}\frac{\Sigma S}{\Sigma T}\sum_{j \ge 0}[\frac{x^j}{j!}]\prod_{i \in T}\sum_{d < b_i}(\frac{a_i}{\Sigma T})^d \frac{x^d}{d!}\\ &= \sum_{T \in S,T \not= \phi}(-1)^{|T|+1}\frac{\Sigma S}{\Sigma T}\sum_{j = 0}^B (1/ \Sigma T)^j[\frac{(\frac{x}{\Sigma T})^j}{j!}]\prod_{i \in T}\sum_{d < b_i}a_i^d \frac{(\frac{x}{\Sigma T})^d}{d!}\\ &= \Sigma S\sum_{T \in S,T \not= \phi}\sum_{j = 0}^B (\frac{1}{\Sigma T})^{j+1}(-1)^{|T|+1}[\frac{x^j}{j!}]\prod_{i \in T}\sum_{d < b_i}a_i^d \frac{x^d}{d!}\\ \end{aligned}\]

发现好多地方都与 \(\Sigma T\) 有关，可以尝试用 \(\Sigma T\) 做状态的一部分来背包DP以防止枚举子集。但是只有 \(\Sigma T\) 还不够，我们还需要知道当前 \(|T|\) 的奇偶性和 \(j\)（选的总次数，即背包体积）。可以直接把 \((-1)^{|T|+1}\) 乘进去。

设 \(f[i][s][j]\) 表示考虑了前 \(i\) 个，选择的集合中 \(\Sigma T\) 为 \(s\)，的背包数组（含若干 \((-1)\) 的贡献）。讨论第 \(i\) 个是否加入 \(T\) 集合以及加进去多少：

\[\begin{aligned} f(i,s,j) &\gets f(i-1,s,j)\\ &\gets f(i-1,s-a_i,j-k) \times (-1) \times a_i^k \times \frac{1}{k!},k < b_i \end{aligned}\]

注意这个 \(f(i,s,j)\) 最后要乘 \(j!\)。转移要除阶乘，最后要乘阶乘，就又是用多项式乘法来算 EGF 的那些套路了。

总结一下涉及的套路：

• min-max 容斥

• \(\sum_{i} P(x=i) \times i = \sum_{i \ge 0}P(x>i)\)

• 指数生成函数 与 背包DP

• 状态中记录关键信息以避免枚举子集

ll f[N][N];
inline void work() {
	f[0][0] = -1;
	int sm = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		sm += a[i];
		for (int s = A; ~s; --s) {
			for (int j = 0; j <= B; ++j) {
				if (s - a[i] < 0) continue;
				ll lstf = f[s][j]; f[s][j] = 0;
				ll tmp = 1;
				for (int k = 0; k < b[i] && k <= j; ++k, tmp = tmp * a[i] % P) {
					f[s][j] = (f[s][j] + f[s - a[i]][j - k] * tmp % P * jieni[k]) % P;
				}
				f[s][j] = (lstf - f[s][j] + P) % P;
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int s = 0; s <= A; ++s) {
		ll sn = quickpow(s, P - 2);
		ll tmp = sn;
		for (int j = 0; j < B; ++j, tmp = tmp * sn % P) {
			ans = (ans + tmp * f[s][j] % P * jie[j]) % P;
		}
	}
	ans = ans * A % P;
	printf("%lld\n", (ans % P + P) % P);
}